Лекция 12. Монотонные дифференцированные функции
План
Правило Лопиталя
Критерий постоянства функции
Критерий монотонности дифференцированной функции
Достаточное условие строгой монотонности функции
Формула Тейлора
Правило Лопиталя
Пусть функции 
и 
определены и дифференцированы на 
, 
, 
. Пусть
и 
,
или
и 
,
т.е. для 
имеем неопределенность типа 
или 
, но при этом существует
,
тогда существует 
и
.
Пример. Вычислить 
. В этом примере неопределенность типа 
, то есть применять правило Лопиталя здесь сразу нельзя, но если выполнить вычитание, то получим:
,
и
.
Теперь можно попробовать применить правило Лопиталя. Обозначим функцию в числителе
,
функцию в знаменателе
.
Тогда
, 
,
а
Поскольку существует 
, то по правилу Лопиталя существует и рассматриваемый предел
.
Критерий постоянства функции
Функция 
, где 
, называется постоянной функцией. Для постоянной функции, которая определена на некотором множестве 
выполняется условие: для 
: 
.
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). Пусть функция определена и дифференцирована на . Для того, чтобы была постоянной на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы
для 
.
Доказательство. Необходимость. Пусть , где , тогда по правилам вычисления производных:
для .
Достаточность. Пусть для . Покажем, что тогда 
, т.е. что для 
: . Если рассмотреть функцию на 
, то на этом сегменте удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому для нее имеет место формула Лагранжа:
, де 
.
Поскольку для , то 
, а потому
.
Критерий монотонности дифференцированной функции
Определение 1. Пусть функция определена на . Эта функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на , если для из того, что 
вытекает, что 
(
).Функция будет строго монотонно возрастающей (строго убывающей) на , если для из того, що вытекает, что 
(
).
Пример. Функция 
строго монотонно возрастает на множестве 
, строго монотонно убывает на множестве 
.
Теорема 2 (необходимое и достаточное условие монотонности функции). Пусть функция определена и дифференцирована на . Для того, чтобы монотонно возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы
(
) для .
Доказательство. Докажем теорему для случая монотонного возрастания функции.
Необходимость. Пусть монотонно возрастает на . Покажем, что для . Возьмем 
. Для вычисления производной построим разностное отношение для в точке 
и вспомним, что поскольку 
существует в по условию теоремы, то 
. Учитывая это:
,
что и нужно было доказать.
Достаточность. Пусть для . Покажем, что монотонно возрастает на . Возьмем произвольно 
и 
так, что 
. Рассмотрим функцию на сегменте 
. На этом сегменте она удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому 
, что
,
что говорит о монотонном возрастании функции на .
Замечание. Если функция строго монотонно возрастает на , из этого не вытекает, что 
.
Пример. Функция 
строго монотонно возрастает на всем множестве 
(по определению), поскольку большему значению аргумента отвечает большее значение функции, но производная 
и может равняться нулю: 
.