Лекция 12. Монотонные дифференцированные функции
План
Правило Лопиталя
Критерий постоянства функции
Критерий монотонности дифференцированной функции
Достаточное условие строгой монотонности функции
Формула Тейлора
Правило Лопиталя
Пусть функции и определены и дифференцированы на , , . Пусть
и ,
или
и ,
т.е. для имеем неопределенность типа или , но при этом существует
,
тогда существует и
.
Пример. Вычислить . В этом примере неопределенность типа , то есть применять правило Лопиталя здесь сразу нельзя, но если выполнить вычитание, то получим:
,
и
.
Теперь можно попробовать применить правило Лопиталя. Обозначим функцию в числителе
,
функцию в знаменателе
.
Тогда
, ,
а
Поскольку существует , то по правилу Лопиталя существует и рассматриваемый предел
.
Критерий постоянства функции
Функция , где , называется постоянной функцией. Для постоянной функции, которая определена на некотором множестве выполняется условие: для : .
Теорема 1 (необходимое и достаточное условие постоянства функции). Пусть функция определена и дифференцирована на . Для того, чтобы была постоянной на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы
для .
Доказательство. Необходимость. Пусть , где , тогда по правилам вычисления производных:
для .
Достаточность. Пусть для . Покажем, что тогда , т.е. что для : . Если рассмотреть функцию на , то на этом сегменте удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому для нее имеет место формула Лагранжа:
, де .
Поскольку для , то , а потому
.
Критерий монотонности дифференцированной функции
Определение 1. Пусть функция определена на . Эта функция называется монотонно возрастающей (убывающей) на , если для из того, что вытекает, что ().Функция будет строго монотонно возрастающей (строго убывающей) на , если для из того, що вытекает, что ().
Пример. Функция строго монотонно возрастает на множестве , строго монотонно убывает на множестве .
Теорема 2 (необходимое и достаточное условие монотонности функции). Пусть функция определена и дифференцирована на . Для того, чтобы монотонно возрастала (убывала) на этом интервале необходимо и достаточно, чтобы
() для .
Доказательство. Докажем теорему для случая монотонного возрастания функции.
Необходимость. Пусть монотонно возрастает на . Покажем, что для . Возьмем . Для вычисления производной построим разностное отношение для в точке и вспомним, что поскольку существует в по условию теоремы, то . Учитывая это:
,
что и нужно было доказать.
Достаточность. Пусть для . Покажем, что монотонно возрастает на . Возьмем произвольно и так, что . Рассмотрим функцию на сегменте . На этом сегменте она удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, поэтому , что
,
что говорит о монотонном возрастании функции на .
Замечание. Если функция строго монотонно возрастает на , из этого не вытекает, что .
Пример. Функция строго монотонно возрастает на всем множестве (по определению), поскольку большему значению аргумента отвечает большее значение функции, но производная и может равняться нулю: .