Системы счисления – способ наименования и изображения чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение.
В зависимости от способа изображения чисел системы счисления делятся на позиционные и непозиционные.
В позиционной системе счисления количественное значение каждой цифры зависит от ее места(позиции) в числе.
В непозиционной системе счисления цифры не меняют своего количественного значения при изменении их расположения в числе.
В общем случае любого смешанного числа в системе счисления с основанием «p» представляет собой степенной ряд.
D=xn*bn+xn-1*bn-1+…+x0*b0+x-1*b-1+…+x-s*b-s
47,2510=1*25+0*24+1*23+1*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=101111012
Где x это позиция каждой цифры, а b – основание Системы счисления или вес позиции.
Число в позиционной системе счисления можно представлять формулой степенного ряда (схема Горнора)
Db= 
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Перевод чисел, как целых, так и дробных составляет важную часть машинной арифметики.
Основные правила перевода:
1) Перевод между основаниями, составляющими степень двойки:
1.1) Для того чтобы из восьмеричного счисления перевести число в двоичный код необходимо каждую цифру этого числа представить триадой двоичных символов, при этом лишние нули в старших разрядах отбрасываются.
Пример: 3472,1548=’011’=3;’100’=4;’111’=7;’010’=2;,’001’=1;’101’=5;’100’=4;=
Обратный перевод – каждая триада двух цифр заменяется восьмеричной – при этом дописывается нужное количество нулей перед старшим разрядом для целой части числа, и за последним разрядом числа для дробей.
1.2) При переводах между двоичным и шестнадцатиричным основанием СС используются четверки цифр(кварты). При необходимости выравнивания выполняется до длины двоичного числа кратного четырем (добавляем нули после старшего разряда).
1.3) При переходе из восьмеричного счисления в шестнадцатиричное и обратно используется вспомогательный двоичный код числа.
Пример: DA8.3BE16=’110’1 10’10 1’000’. ‘001’1 10’11 1’110’2=6650.16768
2) Перевод целого числа из десятичного счисления в другое (ТОЛЬКО ДЛЯ ЦЕЛЫХ)
2.1) Последовательно делить число и получаемые части на новое основание счисления до тех пор, пока целая часть не станет меньше нового основания СС. Полученные остатки от деления, представленные цифрами нового счисления, записать в виде числа, начиная с последней целой части.
3) Перевод дробного числа из десятичного счисления в другое.
3.1) Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равна нулю или не будет получено требуемое по условию количество разрядов. Полученные целые части являются разрядами числа в новой системе и их необходимо представить цифрами этой СС.
Формы представления двоичных чисел в персональном компьютере.
В ПК применяются две формы представления двоичных чисел: естественная или форма с фиксированной запятой и нормальная или с плавающей запятой.
1) Для чисел естественной формы положение точки жестко фиксируется (для целых чисел точка располагается справа от младшего разряда, для правильных дробей – перед старшим разрядом и для смешанных дробей – в определенном месте, отделяющем целую часть от дробной)
Естественная форма в основном используется для целых чисел. Кол-во разрядов может быть либо 16 (формат H, в нулевом разряде учитывается знак, в первом разряде 214, во втором - 213, и т.д.) От -32767 до +32767.
Формат F – в нулевом – знак, во втором – 230, …, в тридцать первом 20. +-7FFFFFFFF16
2) Для расширения диапазона чисел в ПК используется формат с плавающей запятой или нормальная форма.
A=+-maE+-Pa
Где ma – мантисса числа, Е – основание СС, А – порядок, Pa – порядок. Со 2 по 7 – порядок, с 8 по 31 – мантисса, от 0 до 1 – знак Pa.
Нормальная форма может быть представлена коротким форматом – E – 4байта, длинным – D – 8байт, и форматом повышенной точности – 16байтов.
Новые байты отдаются под увеличение области мантиссы.
Машинные коды чисел.
Машинные коды в ПК позволяют все арифметические операции свести к сложению и сдвигу вправо или влево. При использовании машинных кодов автоматически учитываются знаки чисел, определяется знак результата и переполнение разрядной сетки. МК делятся на прямой, обратный и дополнительный.
1) Представление чисел в прямом коде складывается из знакового разряда и самого двоичного числа.
2) Для представления отрицательных чисел или замены операции вычитания на сложение используется обратный или дополнительный коды. Сущность этих кодов заключается в том, что вычитаемое число представляется в виде дополнения до некоторой константы.
Для построения дополнительного кода берется константа 1015=100000000000000002.
Для обратного - константа 1015-1=1111111111111112
Существуют правила образования двоичных машинных кодов.
1. Положительное число в прямом, обратном и доп. кодах выглядит одинаково.
2. Прямой код отрицательных и положительных чисел имеет различное значение только в знаковом разряде.
3. Обратный код отрицательного числа получается из прямого кода путем замены единиц на нули и наоборот, исключая знаковый разряд.
4.1. Дополнительный код получается из обратного путем прибавления единицы к младшему разряду(машинная операция).
4.2. Дополнительный код отрицательного числа может быть получен из прямого кода путем замены всех единиц на нули и опять-таки наоборот:D исключая самую младшую единицу и следующие за ней нули (я нихера не поняяяяяяял)!!!!!
Обычно в ПК числа, представленные в естественной форме, хранятся в дополнительном коде, а числа, представленные в нормальной форме, хранятся в прямом коде. Обратный код используется как промежуточное звено для получения дополнительного кода.
Варианты представления информации в персональном компьютере.
Вся информация в ПК представлена в виде двоичных кодов. Последовательность нескольких битов или байтов называют полем данных. Биты в поле нумеруются справа налево, начиная с нулевого разряда. В ПК обрабатываются поля постоянной и переменной длины.
1) Поля постоянной длины.
Одно слово в ПК равно 2 байтам. Полуслово – 1 байт. Двойное слово – 4 байта. Расширенное слово – 8 байтов. Слово длиной – 10 байтов. Числа с фиксированной запятой чаще всего имеют формат слова и полуслова. Числа с плавающей запятой – формат двойного и расширенного слова.
2) Поля переменной длины.
Могут иметь любой размер от 0 до 256 байтов, но обязательно равной целому числу байтов. Двоично кодированные десятичные числа могут быть представлены в ПК полями переменной длины в упакованном и распакованном форматах.
1. Упакованный формат – в нем для каждой десятичной цифры отводится по четыре двоичных разряда (пол байта). При этом знак числа кодируется в крайнем правом полубайте. 1100 – «+» 1101 – -. Упакованный формат используется при выполнении операций сложения и вычитания двоично-десятичных чисел.
Пример: -19310=
| 1101(знак) |
2. В распакованном формате для каждой десятичной цифры отводится по целому байту, при этом выделяются зоны (старшие полубайты), заполняемые кодом 0011. Зона самого младшего правого байта используется для кодирования знака числа.
Пример: -19310=
| 1101(знак) |
Распакованный формат представления двоично-десятичных чисел(зонный) является следствием использования в ПК ASCII кода для представления символьной информации.
ASCII – American Standard Code for Information Interchange. Имеет основной стандарт и его расширения.
Основной стандарт для кодирования символов используют 16-ричные коды от 00 до 7F. Расширенный стандарт – от 80 – FF. Основной стандарт является международным и используется для кодирования управляющих символов, цифр и букв латинского алфавита.
В расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национальных алфавитов.
Понятие кодов ASCII.
Распакованный формат представления двоично-десятичных чисел(зонный) является следствием использования в ПК ASCII кода для представления символьной информации.
ASCII – American Standard Code for Information Interchange. Имеет основной стандарт и его расширения.
Основной стандарт для кодирования символов используют 16-ричные коды от 00 до 7F. Расширенный стандарт – от 80 – FF. Основной стандарт является международным и используется для кодирования управляющих символов, цифр и букв латинского алфавита.
В расширении стандарта кодируются символы псевдографики и буквы национальных алфавитов.