Второй признак сходимости рядов

Лекция 29. Ряды с положительными членами

План

1. Первый признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств
2. Первый признак сравнения в предельной форме
3. Второй признак сходимости рядов
4. Признаки Коши и Даламбера сходимости рядов с положительными членами
5. Интегральный признак Коши-Маклорена

Первый признак сравнения сходимости рядов в форме неравенств

Дальше рассматриваются ряды с положительными членами:

 

(1)

 

Пусть - последовательность усеченных сумм ряда . Поскольку (1) - это ряд с положительными членами, то последовательность является монотонно возрастающей, а потому она будет сходящейся тогда и только тогда, когда будет ограниченной сверху. Из этого вытекает

Теорема 1 (критерий сходимости рядов с положительными членами). Для того, чтобы ряд (1) с положительными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобы последовательность усеченных сумм этого ряда была ограниченной сверху.

Теорема 2 (первый признак сравнения в форме неравенств). Пусть есть два ряда (обозначим их и ) с положительными членами:

 

, (5)

(7)

 

Если, начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

 

(10)

то:

1) Из сходимости ряда вытекает сходимость ряда ;

2) Из расходимости ряда вытекает расходимость ряда .

Доказательство. В условии теоремы сказано, что неравенство (10) для элементов рядов и выполняется, начиная с некоторого номера , но, учитывая то, что сходимость (расходимость) ряда не меняется, если из него удалить конечное количество элементов, можно считать, что неравенство (10) выполняется для .

Пусть - последовательность усеченных сумм ряда ; - последовательность усеченных сумм ряда .

1) Пусть ряд сходится. Из предыдущей теоремы вытекает, что тогда ограничена сверху, т.е. существует такая постоянная , что : . Учитывая неравенство (10), имеем:

 

для ,

т.е. последовательность усеченных сумм ряда также является ограниченной сверху, а потому ряд сходится.

2) Пусть ряд расходится. Предположим, что при этом ряд является сходящимся, тогда из доказанного в пункте 1) из этого предположения будет вытекать, что - сходящийся. Получили противоречие, поэтому наше предположение является ошибочным, а ряд - расходящимся.

 

2. Первый признак сравнения в предельной форме

Теорема 3 (первый признак сравнения в предельной форме). Пусть есть два ряда и с положительными членами. Пусть существует

 

(20)

 

тогда ряды и ведут себя одинаково, т.е. или одновременно сходятся, или одновременно расходятся.

Пример. Исследовать на сходимость ряд . Построим последовательность усеченных сумм этого ряда:

 

 

.

 

Поскольку ,

 

то данный ряд является расходящимся. Расходимость этого ряда можно установить еще одним способом, пользуясь первым признаком сравнения в предельной форме, что мы и сделаем. Ряд называется гармоническим рядом. Этот ряд является расходящимся (это будет доказано позднее). Исходный ряд

 

.

 

Сохраняя обозначения, введенные в теоремах 2,3:

 

;

 

.

 

Вычислим

.

 

Таким образом, ряды и ведут себя одинаково, т.е. расходятся, поскольку о гармоническом ряде мы знаем, что он расходящийся.

 

Второй признак сходимости рядов

Теорема 4(второй признак сравнения). Пусть есть два ряда (5) и (7) - и с положительными членами. Если, начиная с некоторого номера для выполняется неравенство:

(25)

то:

1) Из сходимости ряда вытекает сходимость ряда ;

2) Из расходимости ряда вытекает расходимость ряда .

Доказательство. Будем считать, как и раньше, что неравенство (25) выполняется для :

, ,..., ,...

 

Перемножим эти неравенства почленно:

 

. (30)

 

Из неравенства (30) и первого признака сравнения в форме неравенств имеем:

 

.

 

.