Изображение плоских фигур в параллельной проекции

При изображении плоских фигур в параллельной проекции применяются следующие теоремы.

Теорема 1.

Изображением является любой треугольник АВС.

Теорема 2.

Если дано изображение на плоскости П, то можно построить изображение любой точки .

Исходя из теорем 1 и 2, легко построить изображения любых плоских фигур; в частности, изображением параллелограмма (квадрата, ромба, прямоугольника) является любой параллелограмм. Изображением трапеции является трапеция с тем же отношением длин оснований. Изображением окружности является эллипс, изображением перпендикулярных диаметров окружности являются сопряженные диаметры эллипса.

Ввиду того, что при изображении сферы, цилиндра, конуса необходимо уметь строить изображение окружности, я остановлюсь немного подробнее на способах построения эллипса.

Способ I. Построение эллипса по двум главным диаметрам АВ и CД (рис. 8).

1. АВ ∩ СД = О, О- середина отрезка АВ

2. W₁ (0, ОС),. W₂ (0, ОА) - окружности

3.

4. М₁? l,М₂ ? l ∩ W₂.

5. l ₁ || 0В, М₁? l ₁ , l ₂ || ОС, М₂? l ₂

6. М? l ₁∩ l ₂ , М - искомая точка эллипса.

Доказательство правильности построения легко провести, введя систему координат O (0;0), В(а; 0), С(0; b) и рассматривая параметр t - угол между осью Ох и прямой l.

Способ П. Построение эллипса по двум сопряженным диаметрам, используя перспективно аффинные преобразования плоскости (рис. 9).

Пусть АВ и CD - два сопряженных диаметра эллипса. Я построю на диаметре АВ окружность и проведу диаметр С₁D₁ ей перпендикулярный. Применяю перспективно аффинное преобразование, заданное осью АВ и парой соответствующих точек С1 → С (или D₁→ D). Тогда образом окружности будет эллипс.

Собственно построение.

1. АВ, CD, О - середина отрезков АВ и СD.

2. W (O, ОА) - окружность.

3. OD_{1 ┴} AB, C₁ ? W, D₁ ? W

4.

5. С1 М₁ ∩ АВ=Мо

6. СМо.

7. l || С1С, М₁ ? l

8. СМо ∩ l = М - искомая точка эллипса.

Можно значительно упростить построение образа точки М₁, используя подобие треугольников ОСС₁ и ОММ₁ (ОМ₁ || ОС1, ММ₁ || СС₁ и ОМ || ОС). Существует много других способов построения эллипса.

Изображение пространственных фигур в параллельной проекции

При изображении пространственных фигур в параллельной проекции применяют теорему Польке-Шварца. Всякий полный невыраженный четырехугольник АВСD вместе с его диагоналями можно рассматривать как изображение тетраэдра любой наперед заданной формы

Используя теорему Польке-Шварца и свойство параллельного проецирования, я показываю, что изображением призмы и, цилиндра и конуса являются фигуры.

Методы построения сечений

Метод следов

Суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры F. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры F. Для тех, кто знаком с гомологией, удобно ее применять при нахождении образов точек нижнего основания фигуры F - изображения фигуры F. Последовательно соединяя образы этих точек, получим изображение искомого сечения. В дальнейшем будем допускать вольность речи, и говорить «строим сечение» вместо «строим изображение сечения».

Пусть М, N, К - точки секущей плоскости, М₁, N₁, К₁ - их проекции на плоскость основания. При этом для призм и цилиндров ММ₁ || NN₁, NN1 || КК₁, для конусов и

пирамид ММ₁∩ NN₁∩ КК₁ = S (S- вершина). Удобнее обозначать вершины нижнего основания через А₁, В₁, С₁,... верхнего основания - А, В, С,.... Кратко суть метода следов можно записать следующим образом.

1. МN∩ М₁N₁=X

2. МК∩ М₁К₁=У

3. ХУ= S - след секущей плоскости

4. A₁M₁ ∩ S = A₀ возможно

5. АоМ ∩ А₁А == А

6. Пункты 4-5 повторить для вершин В1, С1,... нижнего основания фигуры F;

7. - искомое сечение.

Фактически где f гомология, заданная осью s и парой точек М₁ → М или N₁ → N, или К₁ → К.

Строить сечение фигуры F секущей плоскостью α методом следов удобно в тех случаях, когда секущая плоскость задана тремя точками, ей принадлежащими, или прямой и не принадлежащей ей точкой, или двумя пересекающимися прямыми, или двумя параллельными прямыми. Во всех случаях легко взять три точки М, N, К, принадлежащие плоскости α, и решение проводить по указанной схеме.

Пример 1. Построим сечение призмы А₁B₁C₁D₁ABCD плоскостью, проходящей через три точки М, N, К. Я рассматриваю все случаи расположения точек М, N, К на поверхности призмы.

Рассмотрим случай: М? ВВ₁, N? СС₁D₁D, K? АА₁E₁. В данном случае, очевидно, что

М₁=В₁.

Построение.

1.МN ∩ М₁К₁ = Х

1. МК ∩ М₁К₁ = У

2. ХУ= S - след секущей плоскости

3. А₁К₁ ∩ S =Ао

4. АоК ∩ А₁А= A, АоК ∩ ЕЕ₁= Е.

5. D₁N₁ ∩ S= Dо

6. DоN ∩ DD₁ = D, DоN∩ CC₁= C

7. - искомое сечение.

Пример 2.

Построим сечение пирамиды SABCDE плоскостью, проходящей через точку М? SBC и прямую l лежащую в грани SED.

Построение.

1. SМ ∩ ВС=М₁

2. М Е ∩МЕ = X, l ∩ЕО = У, ХУ = S - след секущей плоскости

3. S ∩АВ=К, S ∩АЕ = N.

4. ВС ∩ S = Во, ВоМ ∩S B = B, ВоМ ∩ SC = С.

5. - искомое сечение.

При объяснении шагов построения можно использовать понятие гомологии или факты стереометрии, опираясь на наглядное представление о данных в условии задачи фигурах. Например, в последнем примере комментарии могут быть следующими.

1. То, что дано, считается построенным.

2. Так как точка М лежит в грани SВС, то прямые SМ и ВС пересекаются, следовательно, легко построить их точку пересечения М₁.

3. Прямая l лежит в грани SЕD, значит, она пересекает ребра SD и SE в точках и D и Е.

4. Находим прямую s пересечения плоскости основания и секущей плоскости, используя известные точки М, D, Е в секущей плоскости.

5. Очевиден шаг построения.

6. Прямые ВС и s лежат в одной плоскости, Во - их точка пересечения лежит в секущей плоскости, в плоскости основания и в плоскости SВС. Точка М лежит в секущей плоскости и в плоскости SВС. Следовательно, прямая ВоМ является прямой пересечения секущей плоскости с плоскостью грани SВС. Таким образом, легко построить точки и В и С.