Глава 3. Комплексные числа.

 

§6. Поле комплексных чисел.

Мнимая единица. Алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа. Равенство комплексных чисел. Арифметические операции над комплексными числами и их геометрическая интерпретация. Комплексная плоскость и формула Муавра. Извлечение корня из комплексного числа. Двучлен­ные уравнения.

 

Поле комплексных чисел С – это расширение поля действительных чисел, полученное присоединением корня i (мнимая единица), квадратного уравнения x ²+1=0. Элементы поля С называют комплексными числами. Причём,

С={a|a= a+bi, a ÎR, b ÎR}

Представление комплексного числа a в виде a+b i единственно, т.е.

a+bi = с+di Û(a=c и b=d),
a= a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа. Действительные числа a,b называются соответственно действительной частью и коэффициен­том при мнимой части числа a. Во множестве комплексных чисел определена операция сопряжения, однозначно сопоставляющая каждому числу a= a+bi со­пряжённое с ним число = a–bi.

Простейшие свойства операции сопряжения:
1) =a; 2) =aÛaÎR; 3) = ; 4) = ;
5) , при b¹0; 6) (a+ )ÎR; 7) a^. ÎR 8) если a¹0, то ^.a>0.

Операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел a= a+bi и b= с+di определяются правилами:
a+b=(a+bi)+(с+di)=(a+c) + (b+d) i;
a – b=(a+bi) – (с+di)=(a–c) + (b–d) i;
a^.b=(a+bi)^.(с+di)=(ac–bd)+(ad+bc) i;

(деление определено, если b¹0).

Каждое комплексное число a= a+bi определяет пару (a,b) действительных чисел, которой на координатной плоскости соответствует точка М с координа­тами (a,b) или радиус-вектор . Указанные соответствия взаимно однозначны. Этот факт позволяет представлять числа как точки коор­динатной плоскости, или как радиус-векторы. Сложение, вычитание комплексных чисел можно представить как сложение (вычитание) соответствующих векторов.

На плоскости можно использовать не только де­картову xOy, но и полярную систему координат Ox (рис.1), в которой a= r^.cosj, b=r^.s i nj, тогда a= a+bi = r^.(cosj+ i ^.s i nj).

Запись числа a в виде r^.(cosj+ i ^.s i nj) называется тригонометрической формой комплексного числа. Длина вектора , изображающего число a= a+bi, называется модулем этого комплексного числа:

r=½a½=

Угол, который образует вектор , с положительным направлением оси Ox, называется аргументом комплексного числа a¹0:
arga=j,

=cosj, =s i nj.

Полярные координаты точки, в отличие от декартовых, определяются неоднозначно: если r₁^.(cosj₁+ i ^.s i nj₁)= r₂^.(cosj₂+ i ^.s i nj₂), то r₁=r₂ и j₁=j₂+2pk, где kÎZ.

В тригонометрической форме над комплексными числами удобно выпол­нять действия умножения, деления, возведения в степень и извлечения корней на­туральной степени: если a₁=r₁^.(cosj₁+ i ^.s i nj₁), a₂=r₂^.(cosj₂+ i ^.s i nj₂), то

(cos(j₁ – j₂)+ i ^.s i n(j₁ – j₂));

a₁^.a₂=r₁^.r₂(cos(j₁+j₂)+ i ^.s i n(j₁+j₂));

(a)ⁿ=rⁿ(cos(nj)+ i ^.s i n(nj));
=r^.(cosg+ i ^.s i ng), где r= , a= , k=0..(n – 1).

При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргу­менты складываются, поэтому умножение на комплексное число b с модулем, равным 1, геометрически можно интерпретировать как поворот на угол arg b во­круг начала координат, т.е. соответствие a®ba (или функция f= ba) при | b |=1 за­даёт преобразование комплексной плоскости, именно указанный поворот.

Параллельный перенос на вектор, определяемый комплексным числом g, описывается функцией f= ba+g. Умножение числа a на комплексное число b сво­дится к растяжению вектора, изображающего a, в |b| раз и повороту на угол j=arg b вокруг начала координат. Функция f= ba+g, a,b Î С, b ¹1, задаёт на ком­плексной плоскости гомотетию с центром в точке g /(1 –b), коэффициентом k=| b | и поворот с этим центром на угол j=arg b, что следует из равенства:

ba+g=b (a– g/(1 –b))+g/(1 –b);

При извлечении корня n-ной степени из числа a все его n значений имеют одинаковые модули, а аргументы различаются на углы, кратные 2p/n. Таким обра­зом, все значения располагаются на окружности радиусом с центром в начале координат через угол 2p/n.

Множество всех корней n-ой степени из числа a можно получить умноже­нием одного из этих корней на все значения .

Используя формулу Эйлера

=cosj+ i ^.s i nj,
всякое комплексное число можно представить в виде:

a=|a|

 

Образцы решения задач.

Задача 1. Вычислить:
1) (2+3i)+(5–7i); 2) (4+i)–(7+2i); 3) (3+2i)(5–2i); 4) (2+i)/(1+3i).

Решение. Пользуясь обычными свойствами действий: коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью, получим:
1) (2+3i)+(5–7i)=(2+5)+(3–7i)= 7–4i;
2) (4+i)–(7+2i)=(4–7)+(1–2)i=–3–i;
3) (3+2i)(5–2i)=3×5+2i×5–3×2i–(2i)²=15+10i–6i–4(–1)= 19+4i; (i²=–1);
4) = = = = .

Ответ: 1) 7–4i; 2) –3–i; 3) 19+4i; 4) .

Задача 2. Найти действительные корни уравнения:
(2+i)x+(1–i)y=5–2i.

Решение. Преобразуем левую часть уравнения, следующим образом:
(2x+y)+(x–y)i=5–2i.
Учитывая единственность представления комплексного числа и то, что x,yÎR, имеем
Û∆= =–3; ∆₁= =-3; ∆₂= =–9.
Откуда x=∆₁/∆=1; y=∆₂/∆=3.

Ответ: (1;3).

 

Задача 3. Вычислить

Решение. Пусть w – искомое число. Тогда по определению квадратного корня 4+3i =w². Если w= х+yi, x,yÎR, то
4+3i=(х+yi)² или 4+3i=(x²–y²)+2xyi
Откуда, т.к. x,yÎR, получим
(1)
Возведя в квадрат оба уравнения системы (1), и сложив их, выведем следствие системы (1):
x²+2x²y²+y²=25, (2)
которое преобразуется к виду (x²+y²)²=25. Поэтому на множестве пар действи­тельных чисел уравнение (2) равносильно уравнению (3):
x²+y²=5 (3)
Если в систему уравнений включить её следствие, то получится система, равно­сильная исходной. Включим уравнение (3) в систему (1):

x²+y²=5 2x²=9 x²=9/2
x²–y²=5 Û 2y²=5 Û y²=1/2
2xy=3 2xy=3 xy=3/2

Итак, система (1) имеет два решения: и . Они дают два значения корня: w₁= , w₂= .

Ответ: = .

 

 

Задача 4. Решить уравнение:
x²–(2+i)x+(–1+7i)=0

Решение. Воспользуемся формулой вычисления корней квадратного урав­нения
x_1,2 = ,
откуда x₁=3–i, x₂=–1+2i.

Ответ. {3–i; –1+2i}.

Замечание. Квадратный корень из числа 7–24i извлекается как в задаче 3.

 

Задача 5. Вычислить iⁿ, где nÎZ.

Решение. Вычислим iⁿ для нескольких натуральных показателей: i⁰=1 (по определению), i¹=i, i²=–1, i³=–i, i⁴=1, i⁵=i. Замечаем, что значения степени начи­нают повторяться: i⁴=i⁰, i⁵=i¹, i⁶=i², i⁷=i³,….Обобщим это наблюдение. Возьмём произвольное целое число n и поделим его с остатком на 4:

n=4k+r, k,rÎZ, 0£r<4.
Тогда iⁿ=i^4k+r=(i⁴)^k×i^r= i^r, так как i⁴=1. Значения i^r для 0£r<4 уже найдены. Итак,

 

Задача 6. Решить систему уравнений

(2+i)x–(3–i)y=i
(3+i)x+(2–i)y=i.

Решение. Вычислим основной и два вспомогательных определителя сис­темы:
∆= =(2+i)×(2–i)+(3+i)²=13+6i;
∆₁= =i(2–i)+i(3+i)=2i+1+3i–1=5i;
∆₂= =2i–1–3i+1=–i.
Тогда x=∆₁/∆= ; y=∆₂/∆=

Ответ: ; .

 

Задача 7. Представить в тригонометрической форме:
1) ; 2)–7i 3) 1+cosj+isinj.

 

Решение.

1) Найдём модуль r и аргумент j данного числа:
r= ; tgj= Þ(j=–p/3 или j=2p/3). Таким образом, =2(cos +i×sin ).

2) На комплексной плоскости число (–7i) изобра­жается радиус–вектором =(0;–7). Тогда
|–7i|=| |=7, arg(–7i)=ÐXOM=–p/2. Итак,
(–7i)= 7(cos(–p/2)+isin(–p/2)).

3) Преобразуем данное число:
1+cosj+isinj=2cos²(j/2)+i[2sin(j/2)×cos(j/2)]=
=2cos(j/2)[cos(j/2)+isin(j/2)].
Если cos(j/2)>0, то это и есть искомая тригонометрическая форма. Если же cos(j/2)<0, то внесём (–1) внутрь скобок:
2cos(j/2)[cos(j/2)+isin(j/2)]=–2cos(j/2)[cos(j/2+p)+isin(j/2+p)]

Ответ: 1) =2(cos +i×sin );
2)–7i=7(cos(–p/2)+isin(–p/2));
3) 1+cosj+isinj= .

 

Задача 8. Вычислить:
1) ; 2) ;

Решение.

1) Представим числа, стоящие в числителе и знаменателе дроби в триго­нометрической форме, для этого найдём модули и аргументы числителя и знаме­нателя.
a= , |a|= =2, arga=–p/3 (см. задачу 7, п.1).
b=1+i, |b|= = , argb=p/4.
Выполняя операцию деления, получим:
a /b=
= .
К полученному выражению применим формулу возведения тригонометрической формы комплексного числа в степень (формулу Муавра):
= = = = = = = .
Замечание 1. Запись вычислений можно вести так:
= = = = = = = .

2). Задачу можно решить в алгебраической форме.
= =
Замечание. 1) Используем результат задачи 7, п.3.
2) Знак сos(j/2) может быть любым, так как результат не обязательно получать в тригонометрической форме.
3) Ответ можно записать и так: .

Ответ: 1) = ;
2) = .

 

Задача 9. Найти все корни:
1) 5-ой степени из a= ;
2) 6-ой степени из 1+cosj+isinj;
3) 3-тей степени из i.

Решение. 1) Запишем a в тригонометрической форме:
a= = .
Воспользуемся формулой извлечения корня n-ой степени из тригонометрической формы комплексного числа:
w_k = , k=0..4.
Найдём
, .
Все искомые корни задаются формулой
w_k= , k=0..4.

2) Воспользуемся результатом задачи 7, п.3. В данном случае, чтобы можно было воспользоваться формулой, необходима тригонометрическая форма подкоренного выражения (арифметический корень по определению существует только из положительного числа). Ответ получаем сразу:
w_k = , k=0..5,
w=0 при .

3) В качестве значения arg i выбираем то, кото­рое делится на 3: из рис. 3
arga=–3p/2. Так как |i|=1, то одним из искомых корней будет:
w₀=cos(–p/2)+i×sin(–p/2)=–i.
Остальные корни найдём, умножая w₀ на корни 3-й сте­пени из 1, т.е. на e_k= , k=0..2. Найдём : e₀= =1; e₁= = ; e₂= = = .
Тогда
w_k=e_k×w₀, т.е. ×w₀=–i, ×w₁= , ×w₂= .

Ответ. 1) w_k= , k=1..4;
2) w_k = ;k=0..5,
w=0, при .

3) w₀=–i, w₁= , w₂= .

 

Задача 10. Решить уравнения:
1) x⁹+8=0; 2) x⁶+4x³+8=0.

Решение. 1) x⁹+8=0Û x⁹=–8. Корнями этого уравнения являются корни
9-той степени из (–8) и только они. Один из них равен , все остальные корни получим, домножая его на все корни 9-ой степени из 1:
w_k=w₀×e_k= , k=0..8.

2) Используем подстановку y=x³, тогда уравнение примет вид:
y²+4y+8=0.
Корни квадратного уравнения
y_1,2=–2 =–2±2i=2 ()
Извлекая кубический корень, получим ответ:
x_1..6= , k=0..2.

Замечание. Уравнение n-ой степени в поле комплексных чисел имеет в точности n решений (некоторые из которых могут совпадать). Поэтому указанное уравнение 6-ой степени имеет в точности 6 решений. Корни из числа cosj–isinj сопряжены с корнями из числа cosj+isinj, т.е. в формуле для корней нужно за­менить i на (–i). Извлекать корни из y можно так: один из корней
w₀= = =1+i;
умножая его на корни 3-тей степени из единицы, получаем:
(1+i) .
Аналогично находим остальные значения x. Окончательно получим:
x_1,2= 1±i, x_3,4= , x_5,6= .

Ответ: 1) x_k= , k=0..8.
2) x_1,2= 1±i, x_3,4= , x_5,6= .