Для самостоятельного решения.

1. Перемножить матрицы. Определить, существуют ли оба произведе­ния и :
а) ; б)
в) г)
д)
е)
и) к)
2. Вычислить если:

3. Найти значение многочлена от матриц:
a)
б)
4. Найти матрицы, обратные данным:
a) б) в)
5. Решите матричное уравнение:
а) Х = б) Х =
в) Х
г) Х
д) Х
Указание. В уравнении , обозначьте

 

§5. Определитель квадратной матрицы.

Определитель второго и третьего порядков. Правило Саррюса. Свойства определителя. Миноры и алгебраические дополнения. Правило Крамера.

 

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка над полем P:

Определителем матрицы А n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение n эле­ментов матрицы, взятых точно по одному из каждой строки и каждого столбца, со знаком «+», если перестановка от номеров столбцов чётная, и со знаком «–», если она нечётная. При этом в каждом произведении первый множитель – элемент первой строки, второй множитель – второй строки и.т.д.

Обозначают определитель матрицы А через | А |, det A, ∆ _А,т.е.

| А |=det A =∆ _А =

Итак,

| А |= ,
где s(J) – число инверсий в перестановке (j₁,j₂,...,j_n) номеров столбцов матрицы А: {1,2,3,...,n}. Символ J под знаком суммы указывает, что суммирование ведётся по всевозможным перестановкам множества {1,2,3,...,n} – номеров столбцов матрицы А.

Порядок матрицы называют и порядком её определителя. Данное выше определение позволяет получить формулы для вычисления определителей пер­вого, второго, третьего порядков:
|A|= = a ₁₁ . |A|= = a₁₁a₂₂–a₁₂a₂₁.
|A|= == a₁₁a₂₂a₃₃+a₁₂a₂₃a₃₁+a₁₃a₂₁a₃₂–a₁₃a₂₂a₃₁–a₁₂a₂₁a₃₃–a₁₁a₂₃a₃₂

Для вычисления определителя третьего порядка обычно используют пра­вило Саррюса: все слагаемые определителя и их знаки находятся по сле­дующей схеме

Определитель (n–1)-го порядка, полученный из определителя ∆_А вычёрки­ванием i-той строки и j-го столбца, называется минором элемента a_ij и обознача­ется М_ij. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется минор М_ij умноженный на (–1)^i+j

A_ij = (–1)^i+j М_ij.

Для вычисления определителей более высоких порядков используют сле­дующие свойства определителей:

1. Определители квадратной матрицы А и транспонированной матрицы А ^T равны.

| А |= = =| А ^T|

2. Определитель содержащий нулевую строку (нулевой столбец) равен нулю.

3. Перестановка двух строк (столбцов) определителя меняет его знак на противоположный.

4. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

5. Общий множитель элементов любой строки (любого столбца) опреде­лителя можно выносить за знак определителя.

6. Если каждый элемент некоторой строки (некоторого столбца) пред­ставляет собой сумму двух слагаемых, то определитель может быть представлен в виде суммы двух определителей, в каждом из которых все элементы те же, что и в исходном определителе, за исключением элементов указанной строки (указанного столбца). В первом опреде­лителе указанная строка (указанный столбец) состоит из первых сла­гаемых, во втором из вторых.

Например,
=

7. Определитель не изменится если к элементам некоторой строки (неко­торого столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (другого столбца), умноженной (умноженного) на некоторое число.

8. Определитель можно разложить по строке либо столбцу по форму­лам:

| А |= a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in (разложение по i-той строке), (1)

| А |=a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj (разложение по j-тому столбцу), (2)

т.е. определитель равен сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

9. Сумма произведений элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) определителя на алгебраические дополнения соответ­ству­ющих элементов другой строки (другого столбца) равна нулю.

a_i1A_j1+a_i2A_j2+…+a_inA_jn=0

10. Определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда век­тора-строки (вектора-столбцы) матрицы линейно зависимы.

Между рангом произвольной матрицы любого порядка и её минорами су­ществует связь: ранг ненулевой матрицы равен наибольшему из порядков ненуле­вых миноров.

Алгебраические дополнения используется для вычисления обратных мат­риц.

Теорема. Для квадратной матрицы А существует обратная матрица тогда и только тогда, когда определитель ∆ матрицы А отличен от нуля. Тогда обратная матрица вычисляется по формуле:

A ^–1=
(здесь алгебраические дополнения строк матрицы А записываются в столбец).

Матрица
А *=
называется присоединённой для матрицы А.

Рассмотрим систему АХ=В (X, В – вектора-столбцы) n линейных уравне­ний с n неизвестными
(3)

Теорема. Система (3) n линейных уравнений с n неизвестными является совместной определённой тогда и только тогда, когда определитель её основной матрицы ∆ отличен от нуля. В этом случае решения системы можно найти по формулам Крамера:

где определитель ∆_i получается из определителя ∆ заменой i-го столбца на стол­бец свободных членов.

В качестве следствия получаем, что необходимым и достаточным усло­вием наличия у однородной системы n линейных уравнений с n неизвестными не­нулевых решений является равенство нулю определителя.

Решить систему (3) (если она совместна определена) можно с помощью обратной матрицы по формуле X=A^–1B.

 

Образцы решения задач.

Задача 1. Вычислить определитель

=∆

Решение. 1 способ. Получаем нули в первой строке определителя ∆, т.е. аннулируем все элементы первой строки, кроме первого, прибавляя ко второму, третьему, четвёртому и пятому столбцам первый, умноженный на (–2), (–3), (–4),
(–5) соответственно:
∆=
По свойству 7 определитель не изменится. Разложим его по первой строке
∆=1^.(–1)¹⁺¹ .
Аналогично преобразуем четвёртую строку
∆= .
Определитель равен нулю, т.к. вторая и четвёртая строки пропорциональны.

2 способ. Заметим, что элементы соседних столбцов определителя отли­чаются друг от друга на единицу. Для общего уменьшения элементов определи­теля, вычтем из пятого столбца четвёртый, затем из четвёртого третий и т.д.
∆=
Определитель равен нулю, т.к. четвёртый и третий столбцы равны.

Ответ: ∆=0.

 

Задача 2. Вычислить определитель
∆= .

Решение. Получаем нули в первой строке и раскладываем по ней опреде­литель
∆= =1^.(–1)¹⁺¹ .
Ко второму столбцу полученного определителя прибавляем первый:
∆=
Разложим определитель по первой строке:
∆=–2^.(–1)¹⁺¹ =–2(8–10)=4.

Ответ: ∆=4.

 

Задача 3. Найти определитель разложением по столбцу:
∆=

Решение. Разложим определитель по элементам первого столбца:
∆=1^.(–1)¹⁺¹ +4^.(–1)²⁺¹ +7^.(–1)³⁺¹ =(45–48)–4(18–24)+7(12–15)=0

Ответ: ∆=0.

 

Задача 4. Вычислить матрицы, обратные данным, с помощью определите­лей:
а) А = б) В = .

Решение. а) Найдём определитель матрицы А
∆=| А |= =2×3–1×4=6–4=2¹0.
Определитель матрицы А отличен от нуля, поэтому матрица А невырожденная и для неё существует обратная матрица А^–1, которую мы вычислим по формуле:

А^–1=

Найдём алгебраические дополнения матрицы А:
А₁₁=(–1)^1+1.3=3; А₂₁=(–1)^2+1.1=–1;
А₁₂=(–1)^1+2.4=–4; А₂₂=(–1)^2+2.2=2.
Тогда
А ^–1 =
Сделаем проверку:
А×А ^–1= =
= = = Е.

Замечание. Из сказанного выше, получаем формулу для обращения невы­рожденной матрицы второго порядка:

=
Для определителя третьего порядка приведенные вычисления усложняются и имеют только теоретическое применение.

б) Вычислим определитель матрицы В:
∆=| В |= = =1(–1)²⁺¹ =–(0–1)=1¹0
Матрица В невырожденная, поэтому для неё существует обратная В^–1, которую вы­числим по формуле:
В ^–1= .
Найдём алгебраические дополнения элементов матрицы В:

А₁₁=(–1)¹⁺¹ =–1; А₂₁=(–1)²⁺¹ =1; А₃₁=(–1)³⁺¹ =0;

А₁₂=(–1)¹⁺² =–2; А₂₂=(–1)²⁺² =1; А₃₂=(–1)³⁺² =1;

А₁₃=(–1)¹⁺³ =5; А₂₃=(–1)²⁺³ =–3; А₃₃=(–1)³⁺³ =–1.
Тогда
В ^–1= .

Проверка:
B×В^{– 1}= × =

Ответ: а) А ^–1= б) В^{– 1}= .

 

Задача 5. Решить систему линейных уравнений методом Крамера:

Решение. Находим определитель основной матрицы системы
∆= = =(–1)(–1)¹⁺³ =– =
=(–1)(–1)²⁺³ =0(–1)–(–1)2=2¹0
Определитель ∆¹0, поэтому система совместна определена и её единственное ре­шение можно найти по формулам Крамера:

Вычислим четыре вспомогательных определителя, заменяя столбцом свободных членов поочерёдно столбцы основного определителя:
∆₁= = =(–1)(–1)¹⁺³ =
=– =(–1)(–1)²⁺³ =–2+4=2;
∆₂= = =(–1)(–1)¹⁺³ =
=– =(–1)(–1)²⁺³ =2;
∆₃= = =1(–1)¹⁺⁴ =
=–(–1)(–1)³⁺¹ =4–6=–2;
∆₄= = =(–1)(–1)¹⁺³ =
=– =(–1)(–1)¹⁺² =–2;
Итак х ₁=2/2=1, х ₂=2/2=1, х ₃=–2/2=–1, х ₄=–2/2=1.
Проверка:

Ответ: {(1;1;–1;–1)}.

 

Для самостоятельного решения.

1. Методом Крамера решить системы линейных уравнений:
а) б) .

2. Вычислить матрицы, обратные данным, с помощью алгебраических до­полнений:
а) ; б) ; в) ; г) .