Глава 2. Матрицы и определители.

 

§4. Алгебра матриц.

Операции над матрицами. Обратная матрица. Матричное уравнение АХ=В. Система линейных уравнений как матричное уравнение.

Операции сложения, умножения транспонирования матриц, умноже­ние матрицы на число. Матричное уравнение. Единичная матрица, обратная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью элементарных преоб­разований. Теоремы о ранге произведения матриц.

Пусть Р – некоторое поле (поле скаляров). Матрицы, составленные из элементов этого поля, будем называть матрицами порядка m n, где m и n натуральные числа указывающие число строк и столбцов соответственно. Обозначать матрицу будем так:

A= =

Если m=n то матрицу А называют квадратной матрицей порядка n. Обозначим i -ю строку матрицы А через А :

A = ,

а j -й столбец матрицы А – через А^j

A ^j=

Две матрицы порядка = и называют равными и пишут , если = для любых наборов i,j где =1..n, j=1..m.

Матрица называется нулевой, если все ее элементы равны нулю.

Суммой двух матриц A и B порядка m n называется матрица C по­рядка m n, элемент который равен , т.e.

= =

Произведением матрицы A = порядка на число (скаляр) назы­вается матрица D порядка , элемент который равен , т.e.

Нетрудно увидеть, что операции сложения матриц, умножения мат­рицы на скаляр обобщают аналогичные операции над арифметическими век­торами (которые являются матрицами порядка ) и обладают свойствами 1–8 (см § ).

Рассмотрим матрицу порядка и матрицу порядка . Произведение строки на столбец определим следующим образом:

Произведением матриц и B называется матрица порядка , такая, что, или

Согласно определению произведения матриц и у матрицы число строк совпадает с числом столбцов матрицы , а число столб­цов – с числом столбцов матрицы , т.e. если – матрица порядка , а B – матрица порядка , то – матрица порядка . При этом

Непосредственный анализ определения операции умножения матриц показывает, что каждый столбец произведения матриц А и В линейно выра­жается через систему столбцов матрицы , а каждая строка этого произве­дения линейно выражается через систему срок матрицы . Или бо­лее подробно: -ый столбец матрицы есть линейная комбинация всех столбцов матрицы , коэффициенты этой комбинации – элементы -го столбца матрицы , -ая строка матрицы AB есть линейная комбинация всех строк матрицы , а коэффициенты этой линейной комбинации – эле­менты -ой строки матрицы . Эти утверждения лежат в основе доказа­тельства первой теоремы о ранге произведения матриц: ранг про­изведения матриц не превосходит ранга каждого из сомножителей:

Умножение матриц не коммутативно, например:
= =

= =

Если же , то матрицы называют перестановочными.

Умножение матриц ассоциативно: если существуют произведения и матриц, то существуют также и произведения и , и они равны:

.

Отметим также, что

если произведение AB существует. Умножение матриц связано со сложе­нием двумя дистрибутивными законами: если существуют матрицы A+B и AC то существуют также , и

(правый дистрибутивный закон); если существуют и то сущест­вуют и и

(левый дистрибутивный закон).

Транспонированием матрицы называют замену ее строк столбцами с сохранением порядка их записи, т.e. если – матрица порядка то транспонированная матрица – порядка . Очевидно, что если и существуют, то существуют также и , и

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными:

(1)

Обозначив через основную матрицу этой системы, через – одно­столбцовую матрицу, составленную из неизвестных этой системы, а через – одностолбцовую матрицу из ее свободных членов, запишем систему (1) в матричном виде: . Система линейных уравнений в матричной записи представляет собой частный случай матричных уравнений вида

(2)

Уравнение вида ya=b сводятся к этому же типу матричных уравнений, поскольку (YA)^T=B^T и в результате A ^T Y ^T= B ^T.

Согласно определению умножения матриц, не имеет реше­ний, если матрицы имеют различное число строк. Поэтому имеет смысл рассматривать уравнение вида (2), в которых число строк у мат­риц и одно и то же.

В равенстве первый столбец матрицы является произве­дением матрицы на первый столбец матрицы , второй стол­бец – произведением матрицы А на второй столбец матрицы и т.д. Если столбцовая матрица, то матричное уравнение распада­ется на систему матричных уравнений: Каж­дое из этих матричных уравнений является системой линейных урав­нений, причем все они имеют матрицу своей основной матрицей, и их решениями будут столбцы неизвестной матрицы . Обычно, все эти линей­ные системы решаются одновременно, в виде пакета. Приведенные рассуждения позволяют, применив критерий Кроникера-Капелли, устано­вить критерий разрешимости матричных уравнений: матичное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу матрицы ( А | В), т. e. матрицы полученной из матрицы присоединением к ней матрицы .

Квадратную матрицу, ранг которой равен ее порядку, называют невырожденной. Если ранг квадратной матрицы меньше ее порядка, мат­рицу называют вырожденной.

Заметим, что если в матричном уравнении матрица невы­рожденная, то это уравнение имеет единственное решение, так как каждая из систем линейных уравнений, на которые оно распадается, будет совместной и определенной.

Квадратную – матрицу вида:

называют единичной и обозначают либо , если размеры известны или подразумеваются. Очевидно, что если – квадратная матрица, то .

Если , то матрицу называют правой обратной для мат­рицы а матрицу A – левой обратной для матрицы C.

Видно, что матрица C является решением матричного уравнения , причем, если A – невырожденная матрица, это решение единствен­ное. Следовательно, всякая невырожденная матрица имеет единствен­ную правую обратную матрицу. Обозначим правую обратную матрицу для матрицы A через .

Ранг матрицы равен ее порядку, а если произведение матриц – матрица невырожденная, то согласно первой теореме о ранге произведе­ния матриц, невырожденным будет и каждый сомножитель. Поэтому, если то – тоже невырожденная и имеет для себя правую обратную. Пусть это будет матрица D, т. e. . Тогда с одной стороны с другой – откуда вследст­вии ассоциативности умножения матриц и т. e. правая обратная матрица будет и ее левой обратной. Итак, всякая невы­рожден­ная матрица имеет единственную обратную двусторон­нюю мат­рицу, которую обозначают :

.

Одним из способов нахождения матрицы, обратной для матрицы , является решение матричного уравнения .

Согласно первой теореме о ранге произведения матриц, . Если матрица А невырожденная, то матрицу В можно записать в виде В=А^–1×(АВ), и тогда (по той же теореме) . Тем самым доказана вторая тео­рема о ранге произведения матриц: если матрица A невырожденная, то

 

Задача 1. Вычислить где

Решение. Так как в данное выражение вместо переменных под­ставляются матрицы, можно считать, что число 4 умножено на единичную матрицу, т. е. 4 надо понимать как 4 Е:

.

Ответ: .

 

Задача 2. Вычислить AB, где

A = , B = .

Решение. Число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы B, значит произведение АВ существует (но ВА в этом случае не существует).

По определению произведения матриц для вычисления элемента c_ij матрицы С=АВ (т. е. элемента в i-й строке и j-м столбце), следует i-ю строку матрицы А умножить на j-й столбец матрицы В (). Например,

= .
Запишем:
C = .

Ответ: C = .

 

Задача 3. Вычислить АВ и ВА, если они существуют:
a) A = , B =
б) А = , B=
в) А = , В =

Решение.
а) А (–1

= .
б) = .
= = .
в) ,
не существует.

Ответ: a) , ;
б) , ;
в) , не существует.

 

Задача 4. Вычислить f(A), если f(x)= x ²–2 x +1,

A =

Решение.
f(A)= =
= =
=

Ответ: f(A)= .

 

Задача 5. Решить матричное уравнение вида АХ=В.

а) б)

в) г)

Решение. Матрица Х должна иметь столько строк, сколько столбцов у матрицы А, и столько столбцов, сколько столбцов у матрицы В. Для су­ществования решения уравнения АХ=В необходимо, чтобы матрицы А и В имели одинаковое число строк. Поэтому в случае г) уравнение решения не имеет.

а) Матрица А – размера , матрица В – размера . Поэтому мат­рица Х размера – ,

Х =
Тогда АХ=В можно записать так:
;
;
и .
откуда
и .
Итак X = .

Проверка:
= = .

2 способ. Матричное равенство АС=В не измениться при одинаковых элементарных преобразованиях систем строк матриц А и В. Поэтому, при одинаковых элементарных преобразованиях систем строк матриц А и В уравнение АХ=В переходит в равносильное. Поменяем местами первую и вторую строки, затем первую строку умножим на (1/3), а вторую на (1/2), третью на (–1). Получим уравнение равносильное исходному:
или Х = , т.к. Е = , ЕХ=Х.

б) Матрица А – размера 3 3, матрица В – размера 3 2. Поэтому иско­мая матрица Х – размера 3 2. Тогда исходное уравнение можно записать в виде:

A = B.

Это уравнение равносильно системе двух уравнений:

A , A .
Каждое из этих уравнений является системой линейных уравнений с тремя неизвестными, причем у обеих систем одна и та основная матрица А. По­этому их можно решать одновременно, написав столбцы свободных членов рядом.

Итак, матричное уравнение АХ=В есть пакет систем линейных уравне­ний с общей основной матрицей А:

, т.е. Х = .

Фактически метод решения тот же, что и в пункте а), но элементар­ных преобразований больше, т.е. одними и теми же элементарными преобра­зованиями строк матриц А и В уравнение АХ=В было преобразовано в рав­носильное:
.

Проверка:
= = = .

в) Решаем пакет двух систем линейных уравнений:
.
Замечаем, что обе системы, входящие в пакет, имеют бесконечно много ре­шений при одном свободном неизвестном. Запишем их в виде:

и .
Значит

и .
Поэтому

Х = , где – любые числа.

Проверка:
= =

Ответ: a) X = б) Х =

в) Х = где – любые числа; г) решений нет.

Задача 6. Решить матричное уравнение вида:
XA=B, если:

a) A = B =

б) A = B =

в) A = B =

г) A = B =

Решение. Для существования решения необходимо равенство числа столбцов матриц А и В. Поэтому в случае в) решения нет. На размеры мат­рицы Х влияет число строк матриц А и В: число строк матрицы Х равно числу строк матрицы В, число столбцов равно числу строк матрицы А.

а) Матрица В размера 2 3, матрица А размера 3 3. Поэтому матрица Х размера 2 3, т.е.

Х = .
Тогда уравнение ХА=В запишется в виде:

=
или .
Откуда и . Поэтому и .
Тогда

X= .

Проверка:
.

2 способ. Воспользуемся равенством Тогда уравнение ХА=В перейдет в уравнение которое можно решить как пакет систем линейных уравнений, а затем решение транспонировать.

Решаем пакет двух систем уравнений:
Û Û
Тогда
или .

б) , .
Решаем пакет систем уравнений:
Û Û Û
Û Û .
Тогда
или .

Проверка:
XA= г) A^T = , B = .
Решаем пакет двух систем уравнений:

Û Û
Откуда
и .
Системы являются совместными неопределёнными и имеют решения:
и , где a,b ÎR.
Тогда
.
Поэтому

Проверка:

 

Ответ: а) Х = б) Х =

в) решения нет;

г) Х = где – любые числа,

 

Задача 7 Вычислить матрицы обратные данным:
a) в)

Решение.

а) Решим матричное уравнение АХ=Е, как пакет систем линейных уравнений:

В любой из трех систем пакета третье уравнение противоречиво, т.e. мат­рица А не имеет обратной, а, значит, вырождена.

в) Решаем уравнение ВХ=Е, как пакет систем линейных уравнений:

Тогда

X =

Проверка.

Значит, В ^–1= Х.

Замечание. Если для матрицы существует обратная (матрица невырождена), то для нахождения составляется комбинированная матрица которая при помощи элементарных преобразований строк приводится к виду где справа от черты искомая матрица (способ элементарных преобразований строк).

Ответ: а) для матрицы – обратной нет;

б)