Решение систем дифференциальных уравнений

На рис. 3.1 представлено решение системы из двух дифференциальных уравне­ний различными методами — в явном виде, в виде разложения в ряд и с исполь­зованием преобразования Лапласа. Здесь следует отметить, что решение в виде ряда является приближенным. Поэтому полученные в данном случае аналити­ческие выражения отличаются от явного решения и решения с применением преобразования Лапласа.

Рис. 3.1.Решение системы из двух дифференциальных уравнений различными методами

Следует отметить, что, несмотря на обширные возможности Maple 6 в аналитическом решении дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда.

Поэтому, если не удается получить такое решение, полезно попытаться найти решение в численном виде.

Численное решение дифференциальных уравнений.

Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не имеет аналитиче­ского решения. Кроме того, часто аналитическое решение и не нужно, но требу­ется получить ответ в виде графических зависимостей.

В таких случаях для решения дифференциальных уравнений в численном виде используется функция dsolve с опцией numeric или type=numeric. При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализую­щей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге— Кутта—Фельберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации реше­ния к скорости его изменения). Эта процедура называется rkf 4 5 и символиче­ски выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференци­альных уравнений. Последнее достаточно наглядно иллюстрирует рис. 3.2.

Рис. 3.2.Решение системы дифференциальных уравнений численным методом rkf45 с выводом графика решения

Указанная процедура возвращает особый тип данных, позволяющих найти ре­шение в любой точке или построить график решения (или решений). Для этого Maple 6 предлагает ряд возможностей, и одна из них представлена на рис. 13.2 — см. последнюю строку ввода. При этом используется функция plot [odeplot] из пакета odeplot, предназначенного для визуализации решений дифференци­альных уравнений.

В список параметров функции dsolve можно явным образом включить указа-; ние на метод решения, например опция mathod=dverk7 8 задает решение не­прерывным методом Рунге—Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следую­щих методов:

О classical — одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;

О rkf4 5 — метод Рунге—Кутта 4 или 5 порядка, модифицированный Фейхс-бергом;

О dverk7 8 — непрерывный метод Рунге—Кутта порядка 7 или 8;

О gear — одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;

О mgear — одна из трех версий многошагового эктраполяционного метода Гира;

О Isode — одна из восьми версий Ливенморского решателя дифференциаль­ных уравнений;

О taylorseries — метод разложения в ряд Тейлора.

Обилие используемых методов расширяет возможности решения дифферен­циальных уравнений в численном виде. Большинство пользователей Maple 6 вполне устроит автоматический выбор метода решения по умолчанию. Однако в сложных случаях возможна прямая установка одного из указанных выше ме­тодов. С деталями реализации методов можно ознакомиться по справочной сис­теме.

С помощью опции 'abserr '=aerr можно задать величину абсолютной по­грешности решения, а с помощью опции 'minerr '=mine — минимальную ве­личину погрешности. В большинстве случаев эти величины, заданные по умол­чанию, оказываются приемлемыми для большинства расчетов.

Maple 6 реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна авто­матически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод реше­ния.

Еще один пример решения системы дифференциальных уравнений представлен на рис. 3.3. Здесь на одном графике представлены зависимости у(х) и z(x), представляющие полное решение заданной системы. При этом процедура имеет особый вид listprocedure и для преобразования списка выходных данных в векторы решения Y и Z используется функция subs.

Для решения достаточно сложных задач полезны специальная структура DESol для решения дифференциальных уравнений и инструментальный пакет Detools, содержащий самые изысканные средства для графической визуализации резуль­татов решения дифференциальных уравнений. Эти средства мы более подробно рассмотрим в дальнейшем.

Рис.3.3. Решение системы дифференциальных уравнений численным методом с выводом всех графиков искомых зависимостей

Задание на работу.

Изучить теоретическую часть; смоделировать заданную преподавателем функцию и получить ее график.

Содержание отчета.

Моделирующая программа и ее результаты

 

 

Лабораторная работа №4

«Спектральный анализ в среде Maple»

Цель и задачи работы.

Изучение основ спектрального анализа.

 

Теоретические сведения.