Рассмотрим действительный стационарный в широком смысле случайный процесс , , с математическим ожиданием , , взаимной ковариационной функцией , и взаимной спектральной плотностью .
Предположим, имеются Т последовательных, полученных через равные промежутки времени наблюдений за составляющей , рассматриваемого процесса . Как оценку взаимной спектральной плотности в точке рассмотрим статистику
(2.1)
где , - произвольная, не зависящая от наблюдений четная целочисленная функция, для , а
(2.2)
s – целое число, - целая часть числа .
Статистика , называемая выборочной взаимной спектральной плотностью или периодограммой, задается соотношением
(2.3)
определено равенством (2.2).
Известно, если рассматривать как оценку взаимной спектральной плотности в точке , то она является асимптотически несмещенной, но не состоятельной оценкой этой спектральной плотности. Заметим, что оценка (2.1) взаимной спектральной плотности построена путем осреднения значений периодограммы в точках некоторой весовой функцией .
Лемма 3. Для любого действительного , и любого справедливо неравенство
где - ядро Фейера, задаваемое равенством
(2.4)
, а
, (2.5)
Доказательство. Учитывая чётность функции и элементарное неравенство
(2.6)
справедливое для всех x, таких, что , имеем
Сделаем замену переменной интегрирования тогда правая часть последнего неравенства примет вид
Применив для оценки первого интеграла, стоящего в квадратных скобках, неравенство , а для оценки второго – неравенство , получим
Лемма доказана.
Проведен численный анализ для соотношения (2.5) при Т=100 и при , T , где T - число наблюдений и получены следующие результаты
|
0,1 | 0.663138 | 2.13239 |
0,2 | 0.447986 | 1.48005 |
0,3 | 0.308154 | 1.04694 |
0,4 | 0.216092 | 0.7554 |
0,5 | 0.154768 | 0.556644 |
0,6 | 0.113483 | 0.41954 |
0,7 | 0.085422 | 0.323925 |
0,8 | 0.06619 | 0.256576 |
0,9 | 0.0529213 | 0.208718 |
0.0437283 | 0.348932 |
α | ||
0,1 | 0.663138 | 1.63184 |
0,2 | 0.447986 | 1.10052 |
0,3 | 0.308154 | 0.755087 |
0,4 | 0.216092 | 0.527538 |
0,5 | 0.154768 | 0.375825 |
0,6 | 0.113483 | 0.273535 |
0,7 | 0.085422 | 0.203842 |
0,8 | 0.06619 | 0.155894 |
0,9 | 0.0529213 | 0.122613 |
0.0437283 | 0.0993358 |
ОКНА ПРОСМОТРА ДАННЫХ
Для выделения определенных характеристик спектральных оценок, нередко прибегают к сглаживанию значений на концах случайного временного ряда. Временное сглаживание представляет собой умножение ряда на «окно данных».
При определении расширенного конечного преобразования Фурье, задаваемого соотношением
введена функция , называемая окном просмотра данных (множителем сходимости, коэффициентом сглаживания).
Функцию
(3.1)
называют частотным окном. Из соотношения (3.1) вытекает, что
Характерное поведение функции состоит в том, что она становится все более сконцентрированной в окрестности нуля при .
Примеры окон просмотра данных:
1. 1 – окно Дирихле;
2. 1- – окно Фейера;
3. ;
4. – окно Хэннинга;
5. – окно Хэмминга;
6. – окно Хэмминга;
7. , где – окно Хэмминга;
8. 1- – окно Рисса.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной работе исследована оценка спектральной плотности вида
где , а периодограмма задана следующим соотношением
Оценивается смещение данной спектральной плотности. Построены графики этой оценки для различных окон данных на основании наблюдений за солнечной активностью по Вольфу с 1749 г. по 1901 г.
|
Также построены графики для центрированного случайного процесса.