Криволинейные интегралы I типа

Определение и свойства криволинейного интеграла I типа

Пусть функция z = f (M) определена вдоль некоторой кривой L, лежащей в плоскости XOY, то есть любой точке MÎL соответствует f (M). Пусть y = j (x) - уравнение кривой L, где j (x) - непрерывно-дифференцируемая функция. Тогда кривая L будет гладкой и спрямляемой. A, B - концы кривой L. Разобьем кривую произвольным образом на n частей точками A=M ₀, M ₁,…, M_n=B. На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Составим сумму

, (1)

где - длина дуги .

Эта сумма называется интегральной суммой для функции z = f (M), заданной на кривой L. Обозначим .

Определение. Если существует конечный предел при l ®0 интегральной суммы (1), не зависящий ни от способа разбиения кривой L на части, ни от выбора точек , то он называется криволинейным интегралом I типа (или криволинейным интегралом по длине дуги) от функции f (M) по кривой L и обозначается или .

Функция f (M) называется интегрируемой вдоль кривой L.

Свойства криволинейного интеграла I типа

1º. Величина криволинейного интеграла не зависит от направления интегрирования:

(это объясняется тем, что при составлении интегральной суммы (1) нумерация точек разбиения может быть произведена и в обратном порядке: от В к А, это ничего не меняет).

2º. (Аддитивность)

3º. (Линейность)

2. Задача о площади цилиндрической поверхности

Как известно, определенный интеграл геометрически представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y = f (x), осью и прямыми x=a, x=b. Если f (x)£0, площадь надо взять со знаком «-». Аналогично можно прийти к геометрическому смыслу криволинейного интеграла I типа.

Пусть в плоскости дана спрямляемая кривая L=АВ, на которой определена функция f (M)³0. Тогда точки (M; f (M)) образуют некоторую кривую, которая лежит на цилиндрической поверхности с направляющей L и образующей, параллельной .

Задача. Определить площадь части цилиндрической поверхности, которая ограничена сверху кривой z = f (M), снизу – кривой L, с боков – прямыми AA¢ и BB¢.

Для решения этой задачи разобьем кривую произвольно точками A=M ₀, M ₁,…, M_n=B на n частей. На каждой частичной дуге выберем произвольно точку . Из каждой точки дробления проведем прямые, параллельные оси . Поверхность разобьется на n полосок . Каждую такую полоску заменим прямоугольником с основанием = и высотой . Площадь ее . Тогда

. (2)

Равенство (2) тем точнее, чем мельче разбиение кривой L на части. Пусть . Тогда переходя к в (2), получим точное равенство:

Геометрический смысл криволинейного интеграла I типа

Из определения криволинейного интеграла I типа и этой задачи следует, что криволинейный интеграл при f (M)³0 численно равен площади участка цилиндрической поверхности с образующей, параллельной O z, который снизу ограничен контурами интегрирования L=AB, а сверху - кривой z = f (M).

Если , то ,

где - длина самого контура интегрирования L.

Таким образом, с помощью криволинейного интеграла I типа можно вычислить площадь цилиндрической поверхности и длину дуги.

3. Задача о массе кривой

Рассмотрим физическую задачу, которая приводит к понятию криволинейного интеграла I типа. Пусть вдоль некоторой спрямляемой кривой L распространена масса с плотностью r (М) " M Î L.

Задача. Определить массу всей этой кривой.

Разобьем кривую L на частичные дуги . На каждой частичной дуге выберем произвольно точку , - плотность в точке . Будем считать, что плотность на всей частичной дуге постоянна и равна . Тогда - масса дуги , следовательно, - масса всей кривой L.

Последнее равенство тем точнее, чем меньше разбиение. Пусть . Тогда

Физический смысл криволинейного интеграла I типа

физически выражает массу кривой L, плотность в каждой точке которой равна f (M).

4. Вычисление криволинейного интеграла I типа

Криволинейный интеграл I типа вычисляется путем сведения его к обыкновенному определенному интегралу. Пусть требуется вычислить .

Теорема. Пусть кривая L=AB задана параметрически

, (3)

где j (t) и y (t) - непрерывно дифференцируемы на [ t ₁; t ₂]. Пусть f (x; y) непрерывна на кривой L. Тогда

. (4)

Доказательство.

Пусть для определенности меньшему значению параметра t ₁ соответствует точка A. Функция f (x; y) непрерывна вдоль кривой L, т. е. непрерывна в любой точке М (x; y)Î L. Положение точки на кривой L определяется длиной дуги . Этим самым координаты x, y точки M тоже определяются как функции от s: Это есть параметрическое представление кривой L с параметром s Î[0; S ], где S - длина всей кривой L. Тогда f (x; y)= f (x (s); y (s))= F (s) - сложная функция от s.

Пусть - произвольное разбиение кривой L на дуги . Произвольно выберем на точку . Обозначим через и значения параметра s, отвечающие соответственно точкам и . Тогда

. (5)

Справа в (5) – обычная интегральная сумма для функции F (s), где . Переходя в (5) к , получим

, (6)

где интегрирование по s уже обозначает взятие обыкновенного определенного интеграла от функции одной переменной F (s). Так как f (x; y) непрерывна и x = x (s), y = y (s) непрерывны, то сложная функция F (s) непрерывна и, следовательно, существуют все интегралы в (6).

С другой стороны длину s дуги можно рассматривать как функцию параметра t: s = s (t). Таким образом, M = M (j (t); y (t)). С возрастанием t от t ₁ до t ₂ величина s возрастает от 0 до S. Известно, что дифференциал дуги

Выполнив замену переменной в (6) получим:

= .

Замечание. Если кривая L задана явным уравнением y = j (x) (x Î[ a; b ], j (x)- непрерывно дифференцируемая функция), то принимая за параметр переменную , получим параметрическое уравнение кривой: Следовательно,