При использовании дискретных случайных величин возникает задача нахождения точечных оценок параметров их функций распределения на основании выборок - ряда значений Хi, принимаемых случайной величиной х в n независимых опытах. Используемая выборка должна быть репрезентативной, то есть должна достаточно хорошо представлять пропорции генеральной совокупности.
Оценка параметра называется точечной, если она выражается одним числом. Задача нахождения точечных оценок - частный случай статистической задачи нахождения оценок параметров функции распределения случайной величины на основании выборки. В отличие от самих параметров их точечные оценки являются случайными величинами, причем их значения зависят от объема экспериментальных данных, а закон распределения - от законов распределения самих случайных величин.
Точечные оценки могут быть состоятельными, несмещенными и эффективными. Состоятельной - называется оценка q*n параметра q, которая при увеличении объема выборки стремится по вероятности к истинному значению числовой характеристики.
q* n (n®¥) ® q(19)
Это означает, что
n®¥® P(ôq* n- qô<e)= 1,(20)
при любом сколь угодно малом e >0.
Наиболее эффективной считают ту из нескольких возможных несмещенных оценок q* n, которая имеет наименьшую дисперсию.
ЁD (q* n) = min(21)
Если оценка смещенная, то минимизировать следует математическое ожидание квадратичного отклонения.
M (ïq* n- qô2) ® min(22)
Несмещенной - называется оценка q* n, математическое ожидание которой равно оцениваемой числовой характеристике.
(q* n) = q,(23)
если это равенство не выполняется, то оценка называется смещенной.
Требования несмещенности на практике не всегда целесообразно, так как оценка с небольшим смещением и малой дисперсией, может оказаться предпочтительнее несмещенной оценки с большой дисперсией. На практике не всегда удается удовлетворить одновременно все три этих требования, однако выборке оценки должен предшествовать её критический анализ со всех перечисленных точек зрения.
Грубые погрешности
Грубая погрешность (промах) - это случайная погрешность результата отдельного наблюдения, входящего в ряд измерений, которая для данных условий резко отличается от остальных результатов этого ряда. Источником грубых погрешностей нередко бывают резкие изменения условий измерения и ошибки, допущенные оператором. К ним можно отнести:
неправильный отсчет по шкале измерительного прибора, происходящий из-за неверного учета цены малых делений шкалы;
неправильная запись результата наблюдений, значений отдельных мер использованного набора, например гирь;
хаотические изменения параметров питающего СИ напряжения, например его амплитуды или частоты.
Грубые погрешности, как правило, возникают при однократных измерениях и обычно устраняются путем повторных измерений. Их причинами могут быть внезапные и кратковременные изменения условий измерения или оставшиеся незамеченными неисправности в аппаратуре.
При однократных измерениях обнаружить промах не представляется возможным. Для уменьшения вероятности появления промахов измерения проводят два-три раза и за результат принимают среднее арифметическое полученных отсчетов. При многократных измерениях для обнаружения промахов используют статистические критерии, предварительно определив, какому виду распределения соответствует результат измерений.
Критерий «трех сигм» применяется для результатов измерений, распределенных по нормальному закону. По этому критерию считается, что результат, возникающий с вероятностью q £ 0,003, маловероятен и его можно считать промахом, если |xi - x| < 3σ, где σ - оценка СКО измерений. Данный критерий надежен при числе измерений n ≥ 20…50.
Это правило обычно считается слишком жестким, поэтому рекомендуется назначать границу центрирования в зависимости от объема выборки: при 6 £ n £ 100 она равна 4σ; при 100 £ n £ 1000-4,5σ; при 1000 £ n £ 10000-5σ.
Данное правило также применимо для нормального закона.
В общем случае границы центрирования tгр σ выборки зависят не только от объема n, но и от вида распределения. Назначая ту или иную границу, необходимо оценить уровень значимости q, то есть вероятность исключения какой либо части отсчетов, принадлежащих обрабатываемой выборке.
Критерий Романовского применяется, если число измерений n < 20. При этом вычисляется отношение:
ô(x - xi)/ σ ô=b(24)
- сравнивается с критерием bТ, выбранным по таблице. Если b ³ bТ, то результат xi считается промахом и отбрасывается.
Критерий Шарлье используется, если число наблюдений в ряду велико (n > 20). Тогда по теории Бернулли число результатов, превышающих по абсолютному значению среднее арифметическое значение на величину Кш σ, будет n[ 1- Ф(Кш)], где Ф(Кш)- значение нормальной функции Лапласа для Х = Кш.
Если сомнительным в ряду результатов наблюдений является один результат, то n[ 1- Ф(Кш)] =1. Отсюда Ф(Кш) = (n-1)/1.
Пользуясь критерием Шарлье, отбрасывают результат, для значения которого в ряду из n наблюдений выполняется неравенство:
ôx - xiô> Кш Sx.(25)
Вариационный критерий Диксона - удобный и достаточно мощный (с малыми вероятностями ошибок). При его применении полученные результаты наблюдений записывают в вариационный возрастающий ряд:
,x2, …,xn (x1<x2< …<xn)(26)
Критерий Диксона определяется как Кд = (xn - xn-1)/(xn-x1).
Критическая область для этого критерия Р (Кд >zq) = q.