Способы оформления решения задач на примере конкретной задачи

Задача. У мальчика было 90 книг. 28 он поставил на первую полку, 12 на вторую, остальные – на третью. Сколько книг на третьей полке.

 

Вопрос

Деятельность по решению задачи арифметическим методом вклю­чает следующие основные этапы:

1. Анализ задачи.

2. Поиск плана решения задачи.

3. Осуществление плана решения задачи.

4. Проверка решения задачи.

1. Анализ задачи

Основное назначение этого этапа - понять в целом ситуацию, опи­санную в задаче; выделить условия и требования: назвать известные и искомые объекты, выделить все отношения (зависимости) между ними.

Производя анализ задачи, вычленяя ее условия, мы должны соотносить этот анализ с требованиями задачи, Другими словами, анализ задачи всегда направлен на ее требования.

2. Поиск и составление плана решения задачи

Назначение этого этапа: установить связь между данными и иско­мыми объектами, наметить последовательность действий.

План решения задачи - это лишь идея решения, его замысел. Может случиться, что найденная идея неверна. Тогда надо вновь возвращаться к анализу задачи и начинать все сначала.

3. Осуществление плана решения задачи

Назначение данного этапа найти ответ на требование задачи, выполнив все действия в соответствии с планом.

Для текстовых задач, решаемых арифметическим способом, исполь­зуются следующие приемы:

- запись по действиям (с пояснением, без пояснения, с вопросами);

- запись в виде выражения.

Проверка решения задачи

Назначение данного этапа — установить правильность или оши­бочность выполненного решения.

Известно несколько приемов, помогающих установить, верно ли решена задача. Рассмотрим основные.

1. Установление соответствия между результатом и условиями за­дачи.

Для этого найденный результат вводится в текст задачи и на ос­нове рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом проти­воречия.

2. Решение задачи другим способом.

Пусть при решении задачи каким-то способом получен некоторый результат. Если ее решение другим способом приводит к тому же ре­зультату, то можно сделать вывод о том, что задача была решена верно.

Заметим, что если задача решена первоначально арифметическим способом, то правильность ее решения можно проверить, решив зада­чу алгебраическим методом.

Не следует также думать, что без проверки нет решения текстовой задачи. Правильность решения обеспечивается прежде всего четкими и логичными рассуждениями на всех других этапах работы над задачей.

Моделирование - один из математических методов познания окружающей действительности, при котором строятся и исследуют­ся модели. Моделирование упрощает процесс познания, так как вы­деляет и отображает только нужную грань реальности, абстрагиру­ясь от незначимых факторов.

Текстовая задача — это словесная модель некоторой реальной ситуации. Чтобы решить задачу, надо построить ее математическую модель.

Математическая модель — это описание реального процесса на математическом языке.

Моделирование в процессе решения задач

Математической моделью текстовой задачи является числовое выражение (или несколько числовых выражений, если задача реша­ется по действиям) и уравнение (либо система уравнений).

Этапы моделирования в процессе решения текстовой задачи.

I этап — перевод задачи на математический язык,

II этап - внутримодельное решение.

III этап - перевод полученного решения на естественный язык. На первом этапе происходит переход от одной модели к другой: от словесной модели (текстовой задачи) к вспомогательным моде­лям (рисункам, кратким записям, таблицам и др.), а от них к мате­матической модели задачи (числовым выражениям и уравнениям). На втором этапе находятся значения числовых выражений, решают­ся уравнения. На третьем этапе происходит интерпретация резуль­татов, используя полученное решение, формулируется ответ на воп­рос, поставленный в задаче.

 

 

 

 

 

Вопрос

В начальном курсе математики изучаются различные взаимосвязи между элементами одного, двух и более множеств. Поэтому учителю надо понимать их суть, что поможет ему обеспечить единство в методике этих взаимосвязей.

Рассмотрим примеры соответствий, изучаемых в начальном курсе математики.

Пример 1. 7 + 6.´

а) (17 – 1): 4; б) (12 + 18): (6-6); в) 2

Пример 2. 1) 2+х =6; 2) х-7=4; 3) 2х=8.

В первом примере мы установили соответствие между заданными выражениями и их числовыми значениями. Во втором выяснили, какое число является решением уравнения.

Все эти соответствия имеют общее – во обоих случаях мы имеем два множества: в первом – это множество из трех числовых выражений и множество N натуральных чисел (ему принадлежат значения данных выражений); во втором – это множество из трех уравнений и множество N натуральных чисел.

Связь (соответствие) между этими множества можно представить наглядно, при помощи графов.

N 1 N 2

Полученные множества показывают, что любое соответствие между двумя множествами Х и У можно рассматривать как множество упорядоченных пар, образованных из их элементов. А так как упорядоченные пары – это элементы декартова произведения, то приходим к следующему определению общего понятия соответствия.

Определение. Соответствием между множествами Х и У называется всякое подмножество декартова произведения этих множеств. Соответствия принято обозначать буквами R, P, F, T и др.

Способы задания соответствий

Поскольку соответствие – это подмножество, то его можно задать как любое множество, т.е. либо перечислив все пары элементов, находящихся в заданном соответствии, либо указав характеристическое свойство элементов этого подмножества.

 

Вопрос

В математике изучают различные виды соответствий. Это не случайно, поскольку взаимосвязи, существующие в окружающем нас мире многообразны. Для учителя, обучающего математике младших школьников, особую значимость имеют взаимно однозначные соответствия.

Определение. Взаимно однозначным соответствием между множествами Х и У называется такое соответствие, при котором каждому элементу множества Х сопоставляется единственный элемент множества У и каждый элемент множества У соответствует только одному элементу множества Х.

Рассмотрим примеры взаимно однозначных соответствий.

Пусть Х – множество кругов, У – множество квадратов и соответствие между ними задано при помощи стрелок.

Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому кружку из множества Х сопоставляется единственный квадрат из множества У и каждый квадрат из У соответствует только одному кружку из множества Х.

Пример

Пусть Х – множество действительных чисел, У – множество точек координатной прямой. Соответствие между ними таково: действительному числу сопоставляется точка координатной прямой. Это соответствие взаимно однозначное, так как каждому действительному числу сопоставляется единственная точка координатной прямой и каждая точка на прямой соответствует только одному числу.

В математике взаимно однозначное соответствие между множествами Х и У часто называют взаимно однозначным отображением множества Х на множество У.

Равномощные множества

Определение. Множества Х и У называются равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества Х и У равномощны, то пишут Х ~ У.

Нетрудно видеть, что множества рассмотренные в предыдущих примерах равномощны.

Равномощными могут быть как конечные, так и бесконечные множества Равномощные конечные множества называют еще равночисленными. В начальном обучении математике равночисленность выражается словами «столько же» и может использоваться при ознакомлении учащихся со многими понятиями. Например, чтобы ввести равенство чисел, сравнивают два множества, устанавливая между их элементами взаимно однозначное соответствие. Например, пишут, что 5 = 5, так как кружков столько же, сколько квадратов.

Понятие равночисленности множеств лежит и в основе определения отношений «больше на …» и «меньше на…». Например, чтобы утверждать, что 6 больше 4 на 2, сравнивают два множества, устанавливая взаимно однозначное соответствие между множеством Х, в котором 4 элемента, и подмножеством У1 другого множества У, в котором 6 элементов, и делают вывод: треугольников столько же, сколько кружков, и еще 2. Другими словами, треугольников на 2 больше, чем кружков.

Х

У1

У

Как уже было сказано, равномощными могут быть и бесконечные множества.

Пример

Пусть Х – множество точек отрезка АВ, У – множество точек отрезка СD, причем длины отрезков различны. Так как между данными множествами можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества точек АВ и СD равномощны.

N

A M B

С M’ D

 

 

Вопрос

Определение.

Бинарным отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения Х ´ Х.

Бинарные отношения обычно обозначают заглавными буквами латинского алфавита: P, T, S, R, Q и т. д. Итак, если Р–отношение на множестве Х, то Р Ì Х ´ Х.

Множество всех первых элементов пар из Р называется областью определения отношения Р. Множеством значений отношения Р называется множество всех вторых элементов пар из Р.

Например, для отношения «больше на 4», которое рассматривается на множестве Х = {2, 6, 10, 14}, это будут упорядоченные пары (2, 6), (6, 10), (10, 14), а для отношения «делится» — (6, 2), (10, 2), (14, 2).

Можно заметить, что множество пар, которые определяют отношения «больше на 4», «делится», являются подмножествами декартова произведения

Х ´ Х ={(2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24)}.