Пусть предложение А – высказывание. Если перед сказуемым данного предложения поставить частицу «не» либо перед всем предложением поставить слова «неверно, что», то получится новое предложение, которое называется отрицанием данного и обозначается Ā (читают: «не А» или «неверно, что А).
Определение. Отрицанием высказывания А называется высказывание Ā, которое ложно, когда высказывание А истинно, и истинно, когда высказывание А – ложно.
Таблица истинности отрицания имеет вид:
| А | Ā |
| и | л |
| л | и |
Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны, ни одновременно ложны.
Построим отрицание ложного высказывания «число 28 делится на 9:
А) Число 28 не делится на 9.
Б) Неверно, что число 28 делится на 9.
Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения построено правильно.
Рассмотрим теперь правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставим слова «неверно, что», то, безусловно, получим его отрицание. А как быть с частицей «не»? Можно ли поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? На примере можно показать, что нельзя.
Можно доказать, что отрицанием конъюнкции двух высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Для этого надо убедиться в том, что значения истинности высказываний вида А∧В и А∨ В совпадают при любых значениях истинности высказываний А и В. Сделать это можно при помощи таблицы истинности:
| А | В | А∧В |  А∧В
|  А
|  В
|   А∨ В
|
| и | и | и | л | л | л | л |
| и | л | л | и | л | и | и |
| л | и | л | и | и | л | и |
| л | л | л | и | и | и | и |
Про высказывания вида А∧В и А∨ В говорят, что они равносильны, и пишут
А∧В ⇔ А ∨ В.
Аналогично можно доказать, что имеет место равносильность
А∨В ⇔ А ∧ В.
Эти равносильности носят название законов де Моргана.
Из них вытекает следующее правило построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции: чтобы построить отрицание конъюнкции (дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и).
10. Отношения следования и равносильности между предложениями.
Следование: Рассмотрим две высказывательные формы: «число х кратно 4» и «число х кратно 2», заданные на множестве N натуральных чисел.
Можно сказать так: из того, что число х кратно 4, следует, что хкратно 2, т.к. при всех значениях х, при которых истинно предложение «число х кратно 4», будет истинно и предложение «число х кратно 2». В этом случае говорят, что данные предложения находятся в отношении логического следования.
Определение. Высказывательная форма В(х) следует из высказывательной формы А (х), если В(х) обращается в истинное высказывание при всех тех значениях х, при которых А (х) истинна.
Если А и В - высказывания, тогда говорят, что из А следует В, если всякий раз, когда А истинно, истинно и В.
Для обозначения отношения логического следования используется знак Þ. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) Þ В(х), прочитать которое можно по - разному:
1. Из А(х) следует В(х).
2. Всякое А(х) есть В(х).
3. Если А(х), то В(х).
4. В(х) есть следствие А(х).
5. А(х) есть достаточное условие для В(х).
6. В(х) есть необходимое условие для А(х).
Например, утверждение о том, что из предложения «число х кратно 4», следует предложение «число х кратно 2», можно сформулировать еще так:
- Всякое число, которое кратно 4, кратно и 2.
- Если число кратно 4, то оно кратно и 2.
- Кратность числа 2 есть следствие кратности его 4.
- Кратность числа 4 есть достаточное условие для его кратности 2.
- Кратность числа 2 есть необходимое условие для его кратности 4.
Как и любое высказывание, предложение А(х) Þ В(х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякое А(х) есть В(х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а с помощью контрпримера - что оно ложно.
Равносильность: Рассмотрим две высказывательные формы А(х) - «число делится на 3» и В(х) - «сумма цифр в записи числа делится на 3». Из школьного курса математики известно, что если число делится на 3, то сумма цифр в записи этого числа разделится на 3, и наоборот. В этом случае говорят, что предложения А(х) и В(х) равносильны.
Определение. Предложения А(х) и В(х) равносильны, если из предложения А(х) следует предложение В(х), а из предложения В(х) следует предложение А (х).
Для обозначения отношения равносильности используется знак Û. Соединяя две высказывательные формы А(х) и В(х) таким знаком, мы получаем высказывание А(х) Û В(х), прочитать которое можно по-разному:
1. А(х) равносильно В(х).
2. А(х) тогда и только тогда, когда В(х).
3. А(х) - необходимое и достаточное условие для В(х).
4. В(х) - необходимое и достаточное условие для А(х).
Например, утверждение о том, что предложение «число делится на 3» и «сумма цифр в записи числа делится на 3» равносильны, можно сформулировать еще так:
· Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр вегозаписи делится на 3.
· Для того чтобы число делилось на 3, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его записи делилась на 3.