Понятие множества. Элемент множества. Пустое множество. Способы задания множеств.
1)Множество – одно из основных понятий современной математики, используемое почти во всех ее разделах. Это совокупность объектов любой природы.
Понятие множества является одним из основных понятий математики и поэтому не определяется через другие. Его можно пояснить на примерах. Так, можно говорить о множестве учащихся некоторого класса, о множестве гласных букв русского алфавита, о множестве натуральных чисел.
В основном множества обозначают буквами латинского алфавита: A, B, C, …, Z, L.
3)Определение. Множество, не содержащее ни одного объекта, называют пустым и обозначают знаком Æ.
2)Определение. Объекты, из которых образовано множество, называют его элементами. Элементы множества принято обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, …, z.
Предложение вида “ Объект а принадлежит множеству А” можно записать, используя символы: аÎА. Прочитать его можно по-разному:
Объект а принадлежит множеству А.
Объект а – элемент множества А.
Пример
Пусть А – множество однозначных чисел. Тогда предложение “7ÎА” можно прочитать: “Число 7 однозначное”, а запись “ 14Ï А” означает: “Число 14 не является однозначным”.
4)Множество можно задать, перечислив все его элементы.
Например, множество А состоит из чисел 3, 4, 5 и 6. Поскольку все его элементы окажутся перечисленными, то это множество задано. При этом возможна запись А = {3, 4, 5, 6}, в которой перечисленные элементы заключаются в фигурные скобки.
Однако если множество бесконечно, то его элементы перечислить нельзя. В таких случаях применяют другой способ задания множеств: указывают характеристическое свойство его элементов.
|
|
Определение. Характеристическое свойство – это такое свойство, которым обладает каждый элемент, принадлежащий множеству, и не обладает ни один элемент, который ему не принадлежит.
Иногда одно и тоже множество можно задать, указав различные характеристические свойства его элементов. Например, множество квадратов можно задать как множество прямоугольников с равными сторонами и как множество ромбов с прямыми углами.
Вывод: чтобы задать некоторое множество, достаточно либо перечислить все его элементы, либо указать характеристическое свойство его элементов.
Подмножество. Универсальное множество. Конечные и бесконечные множества.
3) Множества бывают конечными и бесконечными. Так, множество дней недели конечно, а множество точек прямой бесконечно. Бесконечными множествами являются и такие множества, как множество натуральных чисел (N), множество целых чисел (Z), множество рациональных чисел (Q), множество действительных чисел (R).
1) Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является также элементом множества А.
Если В – подмножество множества А, то пишут: В Ì А – и читают: «В – подмножество А», «В – включается в А».
Считают, что пустое множество является подмножеством любого множества, т. е. Æ Ì А, и что любое множество является подмножеством самого себя, т.е. А Ì А. Поэтому среди всех подмножеств заданного множества А должно быть обязательно пустое множество и само множество А.
2) Определение: Универсальное множество – это такое множество, которое состоит из всех элементов, а так же подмножеств множества объектов исследуемой области, т.е.
|
|
1. Если М Î I, то М Í I
2. Если М Î I, то Ώ(М) Í I, где под Ώ(М) – понимаются все возможные подмножества М, или Булеан М.
Универсальное множество обычно обозначается I.
Универсальное множество может выбираться самостоятельно, в зависимости от рассматриваемого множества, и решаемых задач.
3.Пересечение и объединение множеств. Свойства, связывающие пересечения и об-я. 
Свойства операции объединения.
Теор. 1.2.1. Справедливы следующие равенства:
1. 
(коммутативность);(то есть свойством переместительности J
2. (А 
В) С=А (В С) (ассоциативность);(Ассоциативность (математика) — сочетательность, свойство бинарной операции, при котором результат последовательного применения операции не зависит от расстановки скобок.)
3. Если 
, то А В = А;
4. А Ø= А.