ФОРМУЛА АННУИТЕТА. ВЕЧНАЯ РЕНТА.
1. Понятие аннуитета.
2. Вечная рента.
1. Понятие аннуитета.
Услышав слово аннуитет, многие подумают о чем-то сверхсложном и недоступном для понимания. На самом деле всё просто, только слово иностранное.
Аннуитет – это серия одинаковых платежей через одинаковые промежутки времени. Этот термин представляет собой буквенный «перевод» английского слова annuity, что означает «fixedsumpaideveryyear». Люди, владеющие английским языком, вспомнят еще слово «annual», которое в переводе означает «годовой». Оба этих слова происходят от латинского слова annuus – ежегодно. Таким образом, в самом слове аннуитет содержится указание на ежегодную периодичность платежей.
На временной линии (или шкале времени) аннуитетные денежные потоки можно изобразить, например, вот так:
Рис. 1 – Аннуитетные денежные потоки
В настоящее же время аннуитетом называются не только серии одинаковых годовых платежей, но и любые последовательности одинаковых по сумме платежей вне зависимости от их периодичности. Это могут быть ежегодные, ежеквартальные, ежемесячные платежи. Главным остаётся одно: аннуитет – это несколько одинаковых платежей (денежных потоков) через одинаковые промежутки времени. Например, зарплата. Если ваша зарплата постоянна в течение года, то ежемесячный приток денежных средств в виде зарплаты является аннуитетом с ежемесячным периодом выплаты. Другой пример: если вы покупаете какую-то вещь в рассрочку, то ваши ежемесячные платежи банку тоже будут аннуитетом.
Пренумерандо и постнумерандо.
Еще немного терминов. Аннуитеты бывают пренумерандо и постнумерандо. Это красивые и загадочные термины обозначают всего лишь момент платежа: пренумерандо означает платежи в начале каждого временного периода, постнумерандо — в конце его. Эти термины, пришедшие к нам, судя по всему из латыни, используются в учебниках или в официальных бумагах. Я же буду говорить по-русски: денежные потоки с выплатой в конце года или в начале года.
В данной лекции рассмотрим примеры расчета простых аннуитетов, в которых период платежа и период начисления процентов равны друг другу. То есть если проценты начисляются, например, за год, то и выплаты будут ежегодными. Или проценты начисляются ежемесячно, и платежи тоже осуществляются ежемесячно. Существуют аннуитеты, в которых эти периоды не совпадают (периоды выплат и периоды начисления процентов), но это более сложные вычисления.
Аннуитетные денежные потоки тоже можно дисконтировать и наращивать, то есть определять их текущую и будущую стоимости.
Например, это необходимо, когда нам нужно выбрать между двумя предлагаемых нам вариантами получения денег. Не зная основных положений финансовой математики, можно прогадать и выбрать заведомо невыгодный для себя вариант. Чем и пользуются более осведомленные участники финансового рынка, а именно банки.
Расчет аннуитета — дисконтирование
Пример 1. Возьмем абстрактный пример. Допустим, вам надо выбрать, что лучше:
· (А) получить 100,000 долларов сегодня или
· (Б) 5 раз по 25,000 долларов в конце каждого из следующих 5 лет.
В сумме 5 * 25,000 = 125,000, что вроде бы лучше, чем 100,000 долларов. Но так ли это? Ведь у денег есть еще и «временная» стоимость. Банковская ставка в данный момент в данной стране, допустим, равна 10%.
Вариант (Б) представляет собой простой вариант аннуитета. Только не все знают, что это именно так называется. Чтобы сравнить эти два варианта между собой (что выгоднее?), надо привести их к одному моменту времени, поскольку стоимость денег в разные моменты времени различна. В данном случае надо продисконтироватьаннутитетный денежный поток (Б), т.е. рассчитать его сегодняшнюю стоимость. Если дисконтированная стоимость аннуитета будет больше, чем 100,000 долларов, значит, второй вариант выгоднее при данной ставке процента.
В предыдущей лекции мы научились дисконтировать одиночную сумму. Те же вычисления можно сделать и в этот раз, только придется повторить их 5 раз.
Рис.2 – Дисконтирование аннуитетного денежного потока
На данной шкале времени кроме платежа в сумме 25,000 нанесены соответствующие каждому периоду коэффициенты дисконтирования, взятые из таблицы коэффициентов дисконтирования.
Если продисконтировать (то есть привести к текущему моменту) каждую сумму отдельно, то получится вот такая табличка:
· 25,000*0,9091 = 22,727
· 25,000*0,8264 = 20,661
· 25,000*0,7513 = 18,783
· 25,000*0,6830 = 17,075
· 25,000*0,6209 = 15,523
Итого: 94,770
Здесь сумма платежа умножена на соответствующий каждому году коэффициент дисконтирования. В целом пять платежей по 25,000 в конце каждого года с учетом дисконтирования стоят 94,770, что несколько меньше, чем 100,000 сегодня. Следовательно, 100,000 сегодня при ставке 10% будет выгоднее, чем предложенный аннуитет 5 лет по 25,000.
Этот пример важен не только, чтобы еще раз продемонстрировать временную стоимость денег. Из таблицы становится ясно, как можно упростить вычисление дисконтированной стоимости аннуитета. Вместо того чтобы дисконтировать каждую сумму отдельно, можно сложить все коэффициенты дисконтирования и умножить только один раз:
25,000*(0,9091+0,8264+0,7513+0,6830+0,6209), что аналогично 25,000* 3,7908 =94,770
Из этого примера легко вывести математическую формулу расчета дисконтированной стоимости аннуитета.
Сначала вспомним, как выглядит формула дисконтирования:
PV = FV*1/(1+R)n
Коэффициент дисконтирования равен 1/(1+R)n — это 0,9091, 0,8264 и т.д. в нашем примере.
Формула аннуитета (для расчета дисконтированной стоимости аннуитетных денежных потоков)
PV = FV*[1/(1+R)1 + 1/(1+R)2 + 1/(1+R)3+ 1/(1+R)4+ + 1/(1+R)n] (1)
И так далее, в зависимости от того, сколько у вас периодов времени.
Выражение в квадратных скобках можно представить математически, но вряд ли это нужно большинству людей. Это называется коэффициент аннуитета, или аннуитетный коэффициент дисконтирования, точное название не столь важно. В примере выше этот коэффициент равен 3,7908.
Гораздо полезнее уметь пользоваться таблицами таких коэффициентов для расчета приведенной (дисконтированной) стоимости аннуитетного денежного потока. Такие таблицы позволяют быстро решать простые задачи на дисконтирование аннуитетов. Пример такой таблицы дисконтирования приведен ниже:
Таблица 1
Формулу коэффициента дисконтирования аннуитета можно представить следующим образом:
1/R — 1/(R*(1+R)n), где(2)
- R – ставка процента, выраженная в долях от единицы (10% = 0,1),
- n – число лет.
Дисконтированная стоимость аннуитета:
PV= платеж умножить на коэффициент (3)