РЕФЕРАТ
на тему:
Применение дифференциального исчисления в экономике
Работу выполнил
студент 1 курса очного отделения
Михайличенко
Екатерина Константиновна
Группа 1 НФ-20
Проверила:к.п.н. доцент
____________________________
Ран Наталья Алексеевна
Новокуйбышевск - 2021
Содержание
Введение …………………………………………………………………3
1.Понятие «Дифференциальное исчисление»........................................5
2.Использование дифференциальных исчислений в решении экономических задач ………………………………………………………….7
3. Теоремы изучающие дифференциальные исчисления…………12
Заключение ………………………………………………………………13
Библиографический список………………………………………….….14
Введение
Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записываемых в виде функций. В экономике очень часто требуется найти наилучшее (оптимальное) значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные издержки. Каждый показатель представляет собой функцию одного (нескольких) аргументов.
Аппарат дифференциального исчисления применяется так же в моделях экономической динамики. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определения оптимальной или равновесный траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.
Целью исследования данной работы. Как применяется дифференциальные исчисления в экономике.
Задачи исследования:
1) Изучение понятия дифференциальное исчисления
2) Рассмотреть, использование дифференциальных исчислений в решении экономических задач
Понятие «Дифференциальное исчисление»
Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:
1) о разыскании касательной к произвольной линии
2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, Роберваля, Л. Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.
Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение".[1] Поэтому в своей работе, я постараюсь широко раскрыть использование дифференциальных исчислений в решении экономических задач и приведу конкретные примеры.
Дифференциальное исчисление — это раздел математического анализа, в котором изучаются понятия производной и дифференциала и способы их применения к исследованию функций.
Для решения проблем например: в каком направлении изменится доход государства если увеличится налог;увеличится или уменьшится выручка фирмы если повысить цены на товар, в таких случаях должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.
Важный методом дифференциального исчисления, используемых в экономике, является метод предельного анализа. Предельный анализ в экономике – это совокупность приёмов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объёмов производства, потребления и т.п. на основе анализа их предельных значений. Предельными величинами в экономике являются: предельный доход, предельные издержки, предельная полезность, предельная производительность труда. Они характеризуют не состояние, а процесс, т.е. изменение экономического объекта.
Вывод: Дифференциальное исчисление – это важнейший математический прием, применяемый в экономике.
Использование дифференциальных исчислений в решении экономических задач
Предельный показатель функции у=f(х) – это её производная (одной переменной) или частные производные (несколько переменных). Производная показывает скорость изменения экономического объекта или процесса с течением времени.
Пусть q – выпуск произведенной продукции, TC(q) – соответствующие данному выпуску издержки производства, ∆q – прирост продукции, а DТС – прирост издержек производства.
Предельные издержки МС (marginal costs) показывают дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции:
, где ∆q = 1
Задача1: Зависимость издержек производства от объёма выпускаемой продукции выражается формулой: Определить предельные издержки при объеме продукции Q=15 ден.ед.
Р е ш е н и е:
Предельные издержки рассчитываются по формуле, тогда в нашем случае МС=40-0,09Q2, подставив Q=15 ден.ед. получим МС=С’(15)=19,75 ден.ед. То есть дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции составят 19,75 ден.ед.
Ещё одним примером предельных показателей в экономике является предельная полезность. Функция полезности U(х;у) выражает меру полезности набора (х;у), где х - количество товара Х, а у - количество товара У. Чувствительность набора (х;у) к незначительному изменению х при фиксированном у называется предельной полезностью Х и определяется как частная производная Uх'. аналогично предельная полезность У определяется как Uу'.
В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, минимальные издержки и т. д. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции. Необходимым условием экстремума функции у=f(х) является равенство нулю её производной.
Задача2: Найти оптимальный объём производства фирмы, функция прибыли которой задана таким образом: П(q)=TR(q) – TC(q)=q2 – 8q + 10.
Решение:
Найдём производную данной функции, приравняем ее к нулю и найдём точку экстремума:
П'(q) = R'(q) - C'(q) = 2q - 8 = 0 → q extr = 4
При q < 4 производная П'(q) < 0 и прибыль убывает
При q > 4 производная П'(q) > 0 и прибыль возрастает
При q = 4 прибыль принимает минимальное значение.
В точке экстремума прибыль принимает минимальное значение, таким образом, этот объём производства не является оптимальным для фирмы. Если фирма не может производить за рассматриваемый период больше 8 единиц продукции (П(q=8)=П(q=0)=10), то оптимальным решением будет ничего не производить, а получать доход от сдачи в аренду помещений или оборудования. Если же фирма может произвести больше 8 единиц, то оптимальным для фирмы будет выпуск на пределе своих производственных мощностей.
Вывод: Свободное владение теоретическими аспектами и математическими инструментами, не только расширит профессиональный кругозор студента, но и поможет экономистам в дальней профессиональной жизни.