Качество процесса управления может быть оценено по расположению нулей и полюсов передаточной функции в комплексной плоскости.
Чем ближе к оси мнимых величин расположены полюсы (корни характеристического уравнения) и при этом вблизи этих полюсов нет нулей, тем больше амплитуда свободных составляющих переходного процесса. Сопряженные комплексные полюсы обуславливают наличие колебательной составляющей в процессе. Вещественная часть полюсов определяет быстроту затухания свободной составляющей, а мнимая часть - частоту колебаний. По мере увеличения мнимой и уменьшения вещественной частей комплексного корня увеличивается колебательность процесса.
Если передаточная функция замкнутой САУ не имеет нулей, то время переходного процесса может быть определено по значению вещественной части полюса, наиболее близко расположенного к оси мнимых величин
Ln N
tп = --------------, (7.1)
a
где N - заданное число раз, в которое уменьшается значение свободной составляющей переходного процесса за время tп;
a - абсолютное значение вещественной части полюса.
Если время переходного процесса является заданным, то можно получить соответствующее минимально - допустимое значение вещественной части полюса, наиболее близко расположенного к оси мнимых величин. Это значение принято называть степенью устойчивости.
Степень устойчивости определяется по формуле
Ln N
Qмин = -----------.
tп
Колебательность САУ может быть определена как
G = tgd, (7.2)
где d - минимальный угол, в двойной раствор которого вписываются все комплексные полюсы.
При наличии нулей передаточной функции оценка показателей качества по полюсам может дать большую ошибку, причём тем большую, чем ближе к оси мнимых величин расположены нули.
На рис.7.1 и 7.2 приведено расположение нулей и полюсов передаточных функций замкнутой САУ рис.3.1 для воздействий Df(t) и DZ(t) при различных значениях Кос, а также значения показателей качества, определенные по (7.1) и (7.2) при N = 10.
Рис.7.1. Нули (n) и полюсы (р) передаточной функции САУ рис.3.1 при входном воздействии Df(t), Ку = 20, Кос = 1.0 (а) и Кос = 20 (б).
Из рис.7.1 и 7.2 следует, что при Ку = 1.0 и Кос = 1.0 значение свободной составляющей переходного процесса уменьшается в 10 раз за время tn = 25с, а при Ку = 20, Кос = 20 - за время tn = 36c. Показатель колебательности при этом имеет, соответственно, значения G = 28,9 (сильная колебательность) и G = 0.078 (колебательность практически отсутствует).
Рис.7.2. Полюсы передаточной функции САУ рис.3.1 при входном воздействии DZ(t), Ку = 20, Кос = 1.0 (а) и Кос = 20 (б).
ОБЛАСТЬ УСТОЙЧИВОСТИ
Область устойчивости в пространстве варьируемых параметров рассчитывается и строится для оценки границ возможного их изменения без нарушения устойчивости САУ.
Параметры, в пространстве которых должна быть построена область устойчивости, определены заданием. Построение может быть осуществлено применением аналитических методов (Д-разбиение, определители Гурвица и др.) или с помощью специальной компьютерной программы “Расчёт областей устойчивости”. Предпочтительным является аналитический метод с проверкой результатов расчёта на компьютере.
В качестве примера ниже приведены расчет и построение области устойчивости САУ по рис.3.1 в плоскости параметров Ку и Кос.
Характеристическое уравнение замкнутой САУ
Дз(р) = 0.8Р3 + (5.7 + 6.4 КуКос)Р2 + (8.7 + 0.8 КуКос)Р + 1 + 0.48Ку=0
целесообразно представить в виде
1 1 1 1
Дз(р) = --- 0.8 Р3+--- 5.7Р2+6. 4 КосР2+--- 8.7Р+0.8 КосР+---+0.48=0, (8.1)
Ку Ку Ку Ку или
Дз(р) = ------ S(P) + КосR(P) + Q(P) = 0,
Ку
где S(P) = 0.8Р3 + 5.7Р2 + 8.7Р + 1;
R(P) = 6.4Р2 + 0.8Р;
Q(P) = 0.48
Положим Р = jw, тогда
S(jw) = - j 0.8w3 - 5.7w2 + j8.7w + 1 = x1(w) + jy1(w);
R(jw) = - 6.4w2 + j 0.8w = x2(w) + jy2(w);
Q(jw) = 0.48 = x3(w) + jy3(w),
Где x1(w) = - 5.7w2 + 1; y1(w) = - 0.8w3 + 8.7w;
x2(w) = - 6.4w2; y2(w) = 0.8w;
x3(w) = 0.48; y3(w) = 0.
Составим определители:
- x3(w) x2(w)
D1(w) = = - 0.384w;
- y3(w) y2(w)
x1(w) - x3(w)
D2(w) = = - 0.384w3 + 4.176w;
y1(w) - y3(w)
x1(w) x2(w)
D(w) = = - 5.12w5 + 5.12w3 + 0.8w.
y1(w) y2(w)
Искомые параметры, соответствующие координатам границы Д - разбиения,
D(w)
Ку(w) = ------------ = 13.34w4 - 131.125w2 - 2.08; (8.2)
D1(w)
D2(w) 0.48w2 - 5.22
Кос(w) = —----------- = ------------------------------------------- (8.3)
D(w) 6.4w4 - 63.9w2 - 1
Из приведенных выражений следует:
а) Ку(w) = 0 при w = ± 3.16 рад/с;
Ку(w) > 0 при |w| > 3.16 рад/с;
Ку(w) < 0 при |w| < 3.16 рад/с;
б) Кос(w) = 0 при w = ± 3.298 рад/с;
К о с (w) > 0 при 0 < |w| < 3.16 рад/с, |w| > 3. 298 рад/с;
К о с (w) < 0 при 3.16 < |w| < 3. 298 рад/с;
в) при w = 0 имеет место особая прямая, уравнение которой получим, приравняв нулю свободный член характеристического полинома
1 + 0.4 Ку = 0, откуда Ку = - 2.08
Примечание: Для получения особой прямой при w = ¥ следует приравнять нулю коэффициент при старшей степени характеристического полинома. В рассматриваемом случае указанная особая прямая отсутствует.
г) D(w) > 0 при 0 < w < 3.16, -3.16 < w < 0.
Граница Д - разбиения приведена на рис.8.1 (с целью наглядности в разных квадрантах приняты разные масштабы по осям координат). Учитывая, что в Д-разбиении фигурирует параметр 1/Ку (см.8.1), а графическое построение осуществлено относительно параметра Ку (ось абсцисс), штриховка нанесена на правую часть кривой по направлению обхода от w = 0 до w = ¥ при D(w) > 0 и левую - при D(w) < 0. Особая прямая снабжена одинарной штриховкой, направленной в сторону штриховки основной кривой.
Претендентом на область устойчивость является практически весь первый квадрант плоскости Ку, Кос.
Для определения области устойчивости положим Ку = 20 и Кос = 20. Для устойчивости рассматриваемой САУ третьего порядка по Гурвицу достаточно, чтобы D2 = (5.7+6.4КуКос)(8.7+0.8КуКос) - 0.8(1+0.48Ку) > 0 что при указанных значениях параметров выполняется. Поэтому претендент является областью устойчивости.
| w,рад/с | 0.1 | 0.5 | 1.0 | 3.2 | 3.25 | 3.3 | 3.5 | ¥ | |||
| Ку | -2.08 | -3.4 | -34 | -120 | -313 | ¥ | |||||
| Кос | 5.22 | 3.18 | 0.3 | 0.08 | 0.02 | -0.19 | -0.00 | 1.42 | 0.004 | 0.003 |
Рис.8.1. Граница Д - разбиения САУ рис.3.1 в плоскости параметров Ку, Кос.
Из рис.8.1 следует, что по условиям устойчивости САУ рис.3.1 значения Ку, Кос могут быть выбраны в очень широких диапазонах (практически от 0 до + ¥). Поэтому целесообразно эти значения определять, исходя из других условий (например обеспечение заданного статизма и качества управления).
ЗАПАС УСТОЙЧИВОСТИ
Запас устойчивости является мерой количественной оценки степени отстроенности параметров САУ от границы устойчивости, определяемой в соответствии с критерием Найквиста удаленностью (по модулю и фазе) годографа КЧХ (АФХ) разомкнутой системы от критической точки (-1.0; j0).
Запас устойчивости по модулю определяется величиной
DH = 1.0 - | Wp(jwо)|, (9.1)
где | Wp(jwо)| - модуль КЧХ (АЧХ) при частоте wо, соответствующей пересечению годографом Wp(jw) отрицательной полуоси вещественных величин.
Запас устойчивости по фазе соответствует углу
Dj = p- argWp(jw1), (9.2)
где - argWp(jw1) - аргумент КЧХ (АЧХ) при частоте w1, соответствующей пересечению годографом Wp(jw) окружности единичного радиуса.
Запас устойчивости может быть определен аналитически, графически по годографу КЧХ(АФХ), а также по логарифмическим АЧХ и ФЧХ.
Для аналитического определения DH следует решить относительно wо уравнение
Vp (wо)
arctg ----------------- = p
Up (wо)
и подставить найденное wо в (9.1).
Аналогично, для определения Dj необходимо из уравнения
ÖU2p (w1) + V2p(w1) = 1.0
найти значение w1 и подставить его в (9.2).
Графическое определение DН и Dj по КЧХ не нуждается в пояснениях. Следует только иметь в виду, что для определения Dj непосредственно из графика должны быть приняты одинаковыми масштабы по осям координат комплексной плоскости.
Для определения запасов устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам следует рассмотреть интервал частот, для которого L(w) > 0. На этом интервале значение DL(wо), соответствующее частоте wо, при которой j(wо) = - p(-3p, -5p,...) определяет запас по модулю (в децибелах). Аналогично, значение j(w1), соответствующее частоте w1, при которой L(w1) = 0, дает запас устойчивости по фазе.
В качестве примера на рис.9.1. приведен годограф КЧХ разомкнутой САУ рис.3.1 Годограф не пересекает полуось отрицательных вещественных величин, поэтому DH = 1.0. Запас устойчивости по фазе Dj = 70° определен по пересечению годографа с окружностью единичного радиуса. Полученные значения DH и Dj свидетельствуют о достаточно высоком запасе устойчивости замкнутой САУ рис.3.1.
| U(w) | 8.68 | 2.5 | 0.7 | 0.28 | 0.04 | -0.09 | -0.15 | -0.17 | |
| V(w) | -2.86 | -4.4 | -2.9 | -2.18 | -1.6 | -1.15 | -0.8 | -0.56 | |
| w,рад/с | 0.001 | 0.005 | 0.009 | 0.013 | 0.018 | 0.025 | 0.035 | 0.05 | ¥ |
Рис.9.1. КЧХ разомкнутой САУ рис.3.1 при Ку = 20, Кос = 20.