Лекция 18.
Задание
Составить конспект лекции
2. Выполнить один из вариантов индивидуального задания (номер варианта соответствует последней цифре зачетной книжки, если нуль, то вариант 0 и т.д.)
18. Основы теории комплексных чисел
18.1 Понятие комплексного числа, основные понятия.
18.2 Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
18.3 Геометрическое представление комплексного числа.
18.4 Тригонометрическая форма комплексного числа.
18.5 Операции с комплексными числами в тригонометрической форме.
18.6 Показательная форма комплексного числа, операции с комплексными числами в показательной форме.
18.7 Примеры.
18.1 Понятие комплексного числа, основные понятия.
Опр. 1 Под комплексным числом понимают выражение 
, где 
и 
- действительные числа, 
- мнимая единица 
. Действительные числа и соответственно называют действительной и мнимой частями числа 
, и обозначают, 
- действительная часть, 
- мнимая часть.
Опр. 2 Под модулем комплексного числа понимается неотрицательное число 
.
Опр.3 Сопряженным числом 
к числу называют комплексное число 
.
Опр. 4 Два комплексных числа 
и 
называются равными, если равны их действительные и мнимые части, т.е. 
.
Действия с комплексными числами в алгебраической форме.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел. Пусть даны два комплексных числа 
и 
тогда сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел определяются следующим образом:
1. 
;
2. 
; тогда 
;
3. 
, (
).
Геометрическое представление комплексного числа.
Всякому комплексному числу на комплексной плоскости 
соответствует точка с координатами 
: 
- действительная ось, 
- мнимая ось, 
- начало координат, 
.
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Опр. 5 Тригонометрической формой комплексного числа является 
, где значение аргумента 
, удовлетворяющее условию 
и 
, 
- модуль комплексного числа.
Операции с комплексными числами в тригонометрической форме.
Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме.
Пусть даны два комплексных числа 
и 
тогда умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме, определяются следующим образом:
1. 
;
2. 
, где 
;
3. 
- формула Муавра;
4. 
, 
.
Показательная форма комплексного числа, операции
С комплексными числами в показательной форме.
Опр. 6 Показательной формой комплексного числа , имеющего тригонометрическую форму , где значение аргумента , удовлетворяющее условию и , - модуль комплексного числа, то 
.
Пусть даны два комплексных числа 
и 
тогда умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексных чисел, записанных в показательной форме, определяются следующим образом:
1. 
;
2. 
, где ;
3. 
;
4. 
.
Примеры.
1. Даны комплексные числа z1 = 4 + 4i и z2 = -3 - 5i.
Найти:
1. 3z1 - 7z2 = 3(4 + 4i) – 7(-3 - 5i) = 12 + 12 i + 21 + 35 i = 33 + 47 i.
2. z1 z2 = (4 + 4i)(-3 - 5i) = -12-12i -20i -20i2 = -12+20 -32i = = 8–32i;
= 
3. записать тригонометрическую форму числа z1:
z1 = 4 + 4i, 
, tg = 
= 1, = 
,
z1 = 4 
(cos + i sin );
4. записать показательную форму числа z1: z1 = 4 e 
;
5. возвести в степень: 
и 
, где n = 16, m = 3:
z116 = 328(cos 4 
+ i sin 4 ) = 328;
z23 = (-3 - 5i)3 = (-3)3 – 3(-3)2(5i) + 3(-3)(5i)2 – (5i)3 = -27 – 135i +
+ 225 + 125i = 198 – 10i;
6. извлечь корень 
, где n = 5: 
= 
(cos 
+ 
sin ) =
=2(cos + + sin ), k = 0;1;2;3;4. 
7. найти числа сопряженные к z1 и z2:
= 4 – 4i, 
= -3 + 5i;
2. Изобразить комплексные числа z1 и z2 из задания 1 на комплексной плоскости хоу.
у
4 
z1
 |
-3 0 4 х
z2 -5
Опр. 7 Пусть 
и 
множества, если каждому значению 
, где по определенному закону 
ставится в соответствие одно определенное значение переменной 
, то говорят, что есть однозначная функция от 
и обозначают 
.
Индивидуальная работа № 2
«КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»
ЗАДАНИЕ 1.
Даны комплексные числа 
и . Найти:
1. 
;
2. 
; ;
3. записать тригонометрическую форму числа 
;
4. записать показательную форму числа ;
5. возвести в степень: и ;
6. извлечь корень ;
7. найти числа сопряженные к и 
;
| № вари-анта |
|
| и
|
|
| z1 = -1 - i z2 = 3 - 4i | -8 z1 + 7 z2 | n = 6 m = 2 | n = 6 | |
| z1 = 2 + 2i z2 = -2+ 3i | 11 z1 - 8 z2 | n = 5 m = 3 | n = 2 | |
| z1 = 3 - 3i z2 = -2 + i | -6 z1 + 9 z2 | n = 7 m = 2 | n = 4 | |
| z1 = -2 + 2i z2 = 3 - i | -5 z1 - 13 z2 | n = 8 m = 3 | n = 5 | |
| z1 = 1+ i z2 = -4 - 3i | 7 z1 + 10 z2 | n = 9 m = 2 | n = 3 | |
| z1 = -2 - 2i z2 = -3+ 4i | 8 z1 - 6 z2 | n = 6 m = 3 | n = 4 | |
| z1 = 3 + 3i z2 = 1 - 5i | 5 z1 + 11 z2 | n = 5 m = 2 | n = 6 | |
| z1 = -1+ i z2 = 2 + 3i | -7 z1 - 6 z2 | n = 7 m = 3 | n = 5 | |
| z1 = -3 - 3i z2 = -1 + 4i | -9 z1 + 21 z2 | n = 8 m = 2 | n = 3 | |
| z1 = 2 - 2i z2 = 3 + 4i | 7 z1 - 13 z2 | n = 9 m = 3 | n = 2 |
ЗАДАНИЕ 2.
Изобразить комплексные числа z1 и z2 из задания 1 на комплексной плоскости хоу.