Задачи на движение и на работу

При равномерном движении или равномерной работе применяется формула:

В этих формулах - это путь или работа, - скорость или производительность труда, - время. Важно, чтобы единицы измерения были согласованы.

Пример 25. Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью, на 20 км/ч большей скорости первого, в

результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом.

Найдите скорость первого автомобилиста. Ответ дайте в км/ч.

Решение: пусть км/ч – скорость первого автомобиля, а км – путь от А до В. Тогда, согласно условию задачи, . Сокращаем на лишнюю букву и находим = 40. Ответ: 40 км/ч

Пример 26. Катер в 11:00 вышел из пункта А в пункт В,

расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 40 минут, катер отправился назад и вернулся в пункт А в 19:00. Определите (в км/час) скорость течения реки, если известно, что собственная скорость катера равна 12 км/ч..

Решение: пусть х км/ч – скорость течения реки. Тогда, согласно условию задачи, . Отсюда находим х = 3.

Ответ: 3 км/ч

Пример 27. В 8 часов 15 минут в северном направлении вышел пешеход, скорость которого составила 5 километров в час. Через некоторое время из того же пункта на восток выехал велосипедист. Определите, через сколько минут после выхода пешехода выехал велосипедист, если в 9 часов 45 минут расстояние между ними было 12,5 километра, а в 10 часов 45 минут – 32,5 километра.

Решение: в 9.45 пешеход находился на расстоянии км от исходного пункта и на расстоянии 12,5 км от велосипедиста. Тогда, по теореме Пифагора, в 9.45 расстояние от велосипедиста до исходного пункта было равно км. Ещё через час расстояние от велосипедиста до исходного пункта стало равно км. Следовательно, велосипедист едет со скоростью км/ч. Поэтому 10 км он проезжает за полчаса, и, значит, велосипедист выехал из исходного пункта в 9.15, то есть через 60 минут после пешехода.

Ответ: через 60 минут.

Пример 28. (мех-мат МГУ) Из пункта A в пункт C выехал с постоянной скоростью велосипедист. За 2 километра до промежуточного пункта B он решил, что необходимо ехать быстрее, и увеличив скорость в пункте B, продолжил движение с постоянной скоростью вплоть до пункта C. Приехав в C, велосипедист обнаружил, что время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости, и что на первые 18 км пути он затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км. Найти расстояние между пунктами A и B, если известно, что расстояние между A и C равно 75 км.

Решение: пусть х км – расстояние от А до В. Тогда x > 2 и (75 – х) км – расстояние между В и С. Пусть a км/ч – скорость на участке от А до В, а b км/ч – скорость на участке от B до C. Так как время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости, то и , откуда . Так как , а время движения с каждой из скоростей было прямо пропорционально соответствующей скорости, то , . Поэтому возможны только два следующих случая.

1) . Тогда из условия, что на первые 18 км пути велосипедист затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км, получаем: . Отсюда находим, что км.

2) . Тогда из условия, что на первые 18 км пути велосипедист затратил времени в полтора раза больше, чем на последние 18 км, получаем: и . Отсюда последовательно находим, что , , , , , км или км. Но первое не подходит в силу условия x > 2, а второе не подходит в силу услови я .

Ответ: км.

Пример 29. (факультет ВМ и К МГУ) Из пункта A в пункт B в 9 часов утра выехал автобус. В тот же момент из пункта В в пункт А выехали мотоцикл и автомобиль. Известно, что скорость мотоцикла в два раза меньше скорости автомобиля. Автобус встретил автомобиль не ранее 11 часов 30 минут утра и прибыл в пункт В в 14 часов 50 минут того же дня. Известно, что между моментами встречи автобуса с автомобилем и автобуса с мотоциклом прошло не менее часа. Скорости автобуса, автомобиля и мотоцикла постоянны. Найдите время прибытия мотоцикла в пункт А.

Решение: пусть S км – расстояние от А до В, a км/ч – скорость автобуса, b км/ч – скорость мотоцикла. Тогда 2 b км/ч – скорость автомобиля на участке от B до C. Из условий задачи имеем:

. Отсюда следует, что .

Обозначив за t отношение , получим: , и, значит, .

Поэтому мотоцикл затратил на поездку в полтора раза больше времени, чем автобус, то есть часа, и прибыл в пункт А в 17 часов 45 минут того же дня.

Ответ: в 17 часов 45 минут того же дня.

Пример 30. (ЕГЭ) На изготовление 63 деталей первый рабочий затрачивает на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 72 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 1 деталь больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение: Обозначим производительность труда второго рабочего через , тогда производительность труда первого рабочего будет равна . Из условия задачи получаем уравнение: , из которого находим (деталей в час). Ответ: 8.

Пример 31. Четыре бригады должны разгрузить вагон с продуктами. Вторая, третья и четвёртая бригады вместе могут выполнить эту работу за 4 часа, а первая, третья и четвёртая бригады вместе – за 3 часа. Если же будут работать только первая и вторая бригады, то вагон будет разгружен за 6 часов. За какое время могут разгрузить вагон все четыре бригады, работая вместе?

Решение: обозначив за А всю работу, за a, b, c и d - части всей работы, выполняемые за час бригадами соответственно первой, второй, третьей и четвёртой. Согласно условиям задачи: . Сложив все три уравнения, получим: , или . А это значит, что все четыре бригады, работая вместе, выполнят работу за 8/3 часа.

Ответ: за 8/3 часа

Задачи на прогрессии

Последовательность чисел образует арифметическую прогрессию, если , где - разность прогрессии.

- формула общего члена.

- сумма первых членов арифметической прогрессии.

- основное свойство арифметической прогрессии.

Чтобы задать арифметическую прогрессию, достаточно задать и .

Последовательность чисел образует геометрическую прогрессию, если , где - знаменатель прогрессии.

- формула общего члена.

сумма первых членов геометрической прогрессии

основное свойство геометрической прогрессии. -

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии

Чтобы задать геометрическую прогрессию, достаточно задать и .

Прогрессия называется бесконечно убывающей, если .

Пример 32. Сумма трех положительных чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1, 4, 19, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Решение: обозначим искомые числа в порядке следования через . Выписывая основное свойство арифметической прогрессии, получим уравнение , при этом по условию задачи . Числа образуют геометрическую прогрессию, а значит, выполняется ее основное свойство: . Решаем полученную систему. Учитывая, что ищем положительные числа, находим .

Ответ: .

Пример 33. Найти сумму всех чисел, одновременно являющихся членами арифметической прогрессии 12, 15, 18, … и геометрической

прогрессии 1, 3, 9, …. Известно, что арифметическая прогрессия содержит 700 членов, а геометрическая - 100 членов.

Решение: члены арифметической прогрессии имеют вид , а члены геометрической прогрессии – вид , причём , а . Приравнивая к , получим , откуда . Решая систему неравенств , получим, что . Поэтому сумма всех чисел, одновременно являющихся членами арифметической прогрессии 12, 15, 18, … и геометрической прогрессии 1, 3, 9, …, будет равна .

Ответ: 2160.

Пример 34. Произведение второго и четвёртого членов возрастающей геометрической прогрессии равно 81, а сумма трёх её первых членов равна 13. С какого номера все члены этой прогрессии будут больше 729?

Решение: по условию задачи , то есть . Отсюда получаем, что , или . Так что , , . Решая неравенство , получаем . Ответ: с восьмого.

Пример 35. Могут ли быть числа 1, , быть членами одной и той же арифметической прогрессии?

Решение: предположим, что числа 1, , являются членами одной и той же арифметической прогрессии. Тогда , , , где m, n, k – различные натуральные числа, причём n лежит между m и k. Отсюда последовательно находим:

, , , чего не может быть, так как не является рациональным числом. Ответ: нет, не могут.

Пример 36. (мех-мат НГУ) За 10 дней Карл украл у Клары 165 кораллов и из них 147 - в первые 7 дней. Каждый день он крал на одно и тоже число кораллов меньше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в десятый день?

Решение: пусть Карл украл у Клары в первый день а кораллов, во второй день а – р кораллов, в третий день а – 2р кораллов, …, в десятый день а – 9р кораллов. Согласно условиям задачи,

, откуда а = 30 и р = 3. Следовательно в десятый день было украдено а – 9р = 3 коралла. Ответ: 3 коралла.

Пример 37. Найти все натуральное значения параметра n, при котором задача: «Найти арифметическую прогрессию, если известны её семнадцатый член и сумма n первых членов», не имеет решений или имеет бесконечно много решений.

Решение: пусть а – первый член арифметической прогрессии, а d – разность прогрессии. Согласно условиям задачи, система линейных относительно а и d уравнений не имеет решений или имеет бесконечно много решений. Перепишем эту систему в виде . Эта система может не иметь решений только если , то есть при n = 33.

Ответ: n = 33.