Следующий этап процедуры поддержки принятия решений, основанной на прецедентах, предусматривает формирование классов эквивалентности. При этом необходимо произвести группировку прецедентов по определенному наиболее значащему признаку. В качестве такого классификатора предлагается использовать показатель «вид дефекта», поскольку при решении задачи диагностики конечной целью является распознавание соответствующего дефекта [71, 72].
Кроме того, для классов эквивалентности необходимо сформировать набор их атрибутов – тех параметров, которые являются информативными с точки зрения идентификации вида дефекта, и в то же время имеющие значительные количественные и качественный отличия применительно к разным видам дефектов. Как отмечалось выше, к числу таких атрибутов относятся количество локальных максимумов и совокупность координат точек максимумов скейлограммы (масштабов и временных сдвигов). В результате вектор атрибутов принимает вид:
, j =1,2,…, M. (2.1)
Каждый из этих атрибутов является индивидуальным для соответствующего класса эквивалентности, поскольку они имеют разную размерность, и поэтому сравнительная оценка требует разработки специальных критериев.
Еще одна специфическая особенность формируемых классов эквивалентности прецедентов заключается в том, что количество локальных максимумов для каждого дефекта может быть не фиксированным числом, а будет меняться в определенном диапазоне значений: [ nj min, nj max]. При этом отличие в скейлограммах, соответствующих одинаковым дефектам, но имеющих различное число максимумов, заключается в том, что на одной из скейлограмм ряд максимумов отсутствует, в то время как оставшиеся максимумы на обеих скейлограммах имеют приблизительно одинаковые координаты. Некоторые скейлограммы с подобной особенностью для дефекта типа «расцентровка» приведены в приложении А. Это означает, что векторы атрибутов для прецедентов с nj min и nj max будут связаны следующим соотношением:
j =1,2,…, M. (2.2)
Таким образом, если рассматривается возможное число М дефектов, то каждому из М дефектов соответствует своя область (отрезок) от минимального до максимального числа локальных максимумов. Принадлежность прецедента к тому или иному дефекту по количеству локальных максимумов можно представить в виде:
(2.3)
Также в силу особенностей протекающих электромеханических процессов в погружном электрооборудовании, а также в силу индивидуальных особенностей проявления различных дефектов данные области пересекаются, т.е.
(2.4)
Несмотря на это, любой исследуемый вариант с числом локальных максимумов 
будет принадлежать не ко всем М классам эквивалентности, а к некоторому подмножеству классов 
, области значений чисел локальных максимумов которых включают число 
.
Далее следует отметить такую особенность расположения точек локальных максимумов на скейлограмме, что одному значению временного сдвига может соответствовать несколько локальных максимумов на разных масштабах. Это объясняется следующей спецификой вейвлет-преобразования. Поскольку «масштаб» в терминах вейвлет-преобразования является неким аналогом «частоты» в терминах спектрального анализа, то при наличии в измеренном сигнале вибрации составляющих на кратных частотах (например, 50 Гц и 100 Гц) может возникнуть ситуация, при которой точки максимумов обеих составляющих будут находиться на одном временном сдвиге. При этом, если один из максимумов значительно превосходит по значению другой, то максимум составляющей с большей амплитудой «поглощает» максимум составляющей с меньшей амплитудой, в результате чего последний не виден на скейлограмме. Поясним это на примере дефекта расцентровки ротора (рисунок 2.7). На рисунке 2.7 а) показан результат вейвлет преобразовании сигнала, когда отдельные его составляющие на различных масштабах соизмеримы по величине, и в таком случае отчетливо просматриваются максимумы на обоих масштабах. Однако, в случае, если составляющая на более высокой частоте (низком масштабе), как показано на рисунке 2.7 б), имеет значительно меньшую амплитуду, то максимумы проявляются только на одном из масштабов [71].
Из данных рассуждений следует вывод о том, что при формировании классов эквивалентности прецедентов необходимо учитывать не только количество локальных максимумов, но и их расположение по оси масштаба, поскольку тривиальная сортировка точек максимумов по возрастанию временного сдвига может привести к серьезным ошибкам при последующей оценке степени сходства анализируемых случаев с тем или иным прецедентом.
а) 
б)
Рисунок 2.7 – Скейлограммы при расцентровке ротора: а) составляющие гармоник соизмеримы по величине, б) составляющая на высокой частоте меньше по амплитуде
Указанную особенность топологии скейлограммы предлагается учитывать следующим образом. Всю ось масштаба можно разбить на характерные области, которые соответствуют той или иной частоте, на которой проявляется дефект[71]:
(2.5)
причем 
при i,j=1…k и i≠j.
Далее весь набор координат точек максимумов в прецеденте сортируется по указанным выше областям в порядке возрастания значения временного сдвига. Подобная сортировка производится для каждого прецедента с набором локальных максимумов 
в результате чего формируется совокупность наборов локальный максимумов, причем каждый такой набор соответствует определенной области 
:
(2.6)
причем 
.
Таким образом, атрибуты каждого прецедента включают совокупность координат точек локальных максимумов скейлограммы вейвлет-преобразования, которые разбиты на характерные непересекающиеся области масштабов, а также отсортированы в порядке возрастания параметра временного сдвига в пределах определенной области масштаба [69, 71].
2.3. Методика количественной оценки степени развития дефектов погружного электрооборудования на основе результатов вейвлет-преобразования
Главным источником информации, извлекаемой из скейлограммы, является положение, величина и взаимозависимость яркостей соседних областей, соответствующих локальным максимумам вейвлет-преобразования. Ранее было показано, что на основе этой информации можно сформировать диагностические признаки для всех наиболее характерных видов дефектов погружного электрооборудования [70]. Однако, хотя скейлограмма и удобна для зрительного восприятия, но для автоматического распознавания дефекта необходимо аналитическое описание топологии. Аналитическое описание дает возможность задавать топологию в более лаконичной форме, выделяя наиболее существенные элементы и исключая избыточную информацию, позволяя в то же время восполнять информацию, утерянную из-за помех в канале передачи данных. Одним из наиболее перспективных подходов к решению этой достаточно сложной задачи является метод анализа главных компонент, суть базовой версии которого заключается в аппроксимации множества исходных данных линейными многообразиями меньшей размерности. При этом в качестве формального способа описания трехмерных сцен с использованием множества линейных отрезков фиксированной длины широко используется преобразование Карунена-Лоэва [3]. Дискретный вариант преобразования Карунена-Лоэва известен под названием «преобразование Хотеллинга».
Обычно преобразование Карунена-Лоэва рассматривается в рамках вероятностной модели сигнала, но, как показывают многочисленные исследования, этот метод носит более общий характер. Он применим для совокупности не обязательно случайных элементов изображения, для которых не используется никакая гипотеза о статистическом порождении данных.
Еще одно важное требование, которое возникает при разработке аналитического описания топологии вейвлет-преобразования сигналов вибрации, заключается в том, чтобы полученные соотношения устанавливали непосредственную связь между характеристиками скейлограммы и показателями, которые позволяют количественно оценить степень развития дефекта погружного электрооборудования. Наиболее распространенными критериями такой оценки являются следующие два показателя:
· расстояние между максимальным и минимальным значениями виброскорости на всей анализируемой числовой оси;
· СКЗ виброскорости.
Следует отметить, что целый ряд действующих ГОСТов и технических регламентов использует критические значения виброскорости для оценки работоспособности электрооборудования самого различного назначения. В связи с этим большинство диагностических центров нефтегазодобывающих компаний ориентируется на этот показатель при оценке ТС погружного электрооборудования, при котором допустима его промысловая эксплуатация. Поэтому при разработке аналитической модели для количественной оценки степени развития дефекта мы также будем использовать СКЗ виброскорости.