Если функция одной переменной задана в виде формулы 
, то областью ее определения называют такое множество значений аргумента 
, на котором определены значения функции.
Пример 1. Значение функции 
определены только для неотрицательных значений переменной 
: 
. Отсюда область определения функции будет полуинтервал [4; 
).
Пример 2. Функция
не определена при таких значениях аргумента 
, когда либо знаменатель равен нулю (
), либо подкоренное выражение отрицательно ( <3). Тогда областью определения служит множество, являющееся объединением интервалов (3;4) 
(4;5) (5; ).
Пример 3. Функция 
определена только на отрезке [-1;1], так как значение тригонометрической функции 
удовлетворяют неравенству: -1 
1.
Функция 
называется четной, если для любых значений из области ее определения выполняется равенство
,
и нечетной, если справедливо другое соотношение: 
. В других случаях функцию называют функцией общего вида.
Пример 4. Пусть 
. Проверим:
.
Таким образом, эта функция является четной.
Для функции 
верно: 
. Отсюда эта функция нечетная.
Их сумма 
является функцией общего вида, так как 
не равна 
и 
.
Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (
; ) плоскости до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. Различают вертикальные (а), горизонтальные (б) и наклонные (в) асимптоты.
а) 
б) 
 |
в) 
Вертикальные асимптоты функции следует искать либо в точках разрыва второго рода (хотя бы один из односторонних пределов функции равен в точке бесконечности или не существует), либо на концах ее области определения (a,b), если a,b –конечные числа.
|
|
Если функция 
определена на всей числовой оси и существует конечный предел 
, либо 
, то прямая, задаваемая уравнением 
, является правосторонней горизонтальной асимптотой, а прямая 
- левосторонней горизонтальной асимптотой.
Если существуют конечные пределы
и 
,
то прямая 
является наклонной асимптотой графика функции. Наклонная асимптота также может быть правосторонней (
) или левосторонней (
).
Функция называется возрастающей на множестве 
, если для любых 
, таких, что 
> 
, выполняется неравенство: 
> 
(убывающей, если при этом:
< 
).
Множество 
в этом случае называют интервалом монотонности функции.
Справедливо следующее достаточное условие монотонности функции: если производная дифференцируемой функции внутри множества 
положительна (отрицательна), то функция возрастает (убывает) на этом множестве.
Пример 5. Дана функция 
. Найти ее интервалы возрастания и убывания.
Решение. Найдем ее производную 
. Очевидно, что 
>0 при >3 и <0 при 
<3. Отсюда функция убывает на интервале (
;3) и возрастает на (3; 
).
Точка 
называется точкой локального максимума (минимума) функции , если в некоторой окрестности точки выполняется неравенство
(
).
Значение функции в точке называется максимумом (минимумом). Максимум и минимум функции объединяются общим названием экстремум функции.
Для того, чтобы функция имела экстремум в точке 
необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (
) или не существовала.
Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными точками функции. В стационарной точке не обязательно должен быть экстремум функции. Для нахождения экстремумов требуется дополнительно исследовать стационарные точки функции, например, путем использования достаточных условий экстремума.
|
|
Первое из них заключается в том, что если при переходе через стационарную точку слева направо производная дифференцируемой функции меняет знак с плюса на минус, то в точке достигается локальный максимум. Если знак изменяется с минуса на плюс, то это точка минимума функции.
Если же изменение знака производной при переходе через исследуемую точку не происходит, то в данной точке экстремума нет.
Второе достаточное условие экстремума функции в стационарной точке использует вторую производную функции: если 
<0, то является точкой максимума, а если >0, то - точка минимума. При 
=0 вопрос о типе экстремума остается открытым.
Функция называется выпуклой (вогнутой) на множестве 
, если для любых двух значений 
выполняется неравенство:
.
Если вторая производная дважды дифференцируемой функции 
положительна (отрицательна) внутри множества , то функция вогнута (выпукла) на 
.
Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющие интервалы, в которых функция выпукла и вогнута.
Вторая производная 
дважды дифференцируемой функции в точке перегиба 
равна нулю, то есть = 0.
Если вторая производная при переходе через некоторую точку 
меняет свой знак, то является точка перегиба ее графика.
|
|
При исследовании функции и построении ее графика рекомендуется использовать следующую схему:
Найти область определения функции.
Исследовать функции на четность – нечетность (если функция четная или нечетная, то график достаточно исследовать только для положительных значений , а для <0 график симметричен относительно оси в случае четности функции и симметричен относительно начала координат – для нечетной функции).
Найти вертикальные асимптоты.
Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.
Найти интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремума.
Найти интервалы выпуклости и вогнутости функции и точки перегиба.
Найти точки пересечения функции с осями координат.
Пример 6. Исследовать функцию
и построить ее график.
Решение. 1.Функция представляет многочлен 3-й степени, поэтому она определена и непрерывна для всех 
.
2. Найдем значение функции при (- ):
а также 
.
Таким образом, исследуемая функция является функцией общего вида и ее требуется исследовать на всей числовой оси.
Функция непрерывна на всей числовой оси, точек разрыва второго рода не имеет, следовательно, у нее вертикальные асимптоты отсутствуют.
Рассмотрим поведение функции в бесконечности.
Найдем пределы:
;
Так как пределы не являются конечными, то горизонтальных асимптот у функции нет.
Далее проверим наличие у функции наклонных асимптот. Вычислим предел:
.
Поскольку предел не является конечными, то наклонные асимптоты также отсутствуют. Если бы предел являлся конечным и равнялся k, то требовалось найти другой предел
.
В случае когда он также конечен (равен числу b), устанавливается наличие наклонной асимптоты с уравнением 
.
Для определения интервалов монотонности функции найдем ее производную:
.
Производная также определена и непрерывна на всей числовой оси. Отсюда критическими точками могут быть только те, где производная равна нулю.
Для нахождения стационарных точек функции приравниваем производную нулю:
и решаем квадратное уравнение:
= 
= 4,
,
Теперь можно записать:
=0.
В итоге функция имеет две стационарные точки 
.
Используя метод интервалов, найдем интервалы знакопостоянства производной функции.
 |
+ +
1 _ 5/3
При 
<1 и >5/3 производная 
>0, т.е. интервалы 
и 
являются интервалами возрастания функции.
При 1< 
<5/3 имеем <0 и интервалом убывания является 
.
Поскольку при <1 знак 
>0, а при 
>1 <0, то стационарная точка = 1 является точкой максимума функции.
В другой стационарной точке = 
имеем 
<0 слева от нее и 
>0 справа. Следовательно, в точке = функция имеет локальный минимум.
Для нахождения интервалов выпуклости вычислим вторую производную функции:
.
Вторая производная также определена на всей числовой оси и точки, где она не существует, отсутствуют.
Приравнивая вторую производную к нулю:
= 0,
находим точку 3 = 
, которая может быть точкой перегиба.
Если 
<4/3, то 
<0 и на интервале 
функция вогнута. При >4/3 
>0 и интервал 
является интервалом выпуклости функции.
В итоге, поскольку при переходе точки 
производная меняет знак, то 
является точкой перегиба функции.
Определим точки пересечения функции с координатными осями. Полагая аргумент =0, находим точку пересечения графика функции с осью ординат 
: 
.
Записывая уравнение
,
найдем точки пересечения графика с осью абсцисс. Методом перебора из делителей свободного члена (равного 4) определяем, что =2 является корнем этого уравнения. Разделим многочлен левой части уравнения на линейный бином (
):
Отсюда уравнение можно записать в виде
.
Решением квадратного уравнения 
является =1 (кратный корень, поэтому график функции касается в точке =1 координатной оси).
Для удобства построения графика полученные результаты запишем в следующую таблицу.
Таблица 5.
| Интервал изменения или значение аргумента
| Значения функции
| Знак или значение | Выводы |  Фрагмент графика функции
| ||||
| 
| |||||||
(-  ;1)
| + | - | Функция возрастает и выпукла | |||||
| =1
| - | Точка максимума |
| |||||
(1;  )
| - | - | Убывает и выпукла | 
| ||||
| =
| - | Точка перегиба графика |  
| |||||
| (; )
| - | + | Убывает и вогнута |  
| ||||
| =
| - 
| + | Точка минимума | |||||
| (; )
| + | + | Возрастает и выпукла | 
|
График исследуемой функции
Вопросы для самопроверки
1. Что называют асимптотой графика функции?
2. Что такое локальный экстремум функции?
3. Сформулируйте необходимое и достаточные условия локального экстремума.
4. Дайте определение выпуклой функции.
5. Какую точку графика называют точкой перегиба?
Задачи для самостоятельной работы
Исследовать и построить график функций:
Таблица 6
| Номер варианта | Исследуемая функция |
| f(x)=(х3-14х2+49х-36)/3 | |
| f(x)=(х3-25х2+143х-119)/10 | |
| f(x)= х3-10х2+20х-8 | |
| f(x)=(х3-16х2+69х+86)/6 | |
| f(x)=(х3-29х2+215х-187)/2 | |
| f(x)= х3-12х2 -26х+4 | |
| f(x)=(х3-8х2+5х+30)/4 | |
| f(x)=(х3-19х2+25х+18)/5 | |
| f(x)= х3-3х2-20х-6 | |
| f(x)=(х3-10х2+17х-2)/2 |