Обнаружение автокорреляции первого порядка




Одной из предпосылок регрессионного анализа является независимость случайного члена в любом наблюдении от его значений во всех других наблюдениях, т.е. M (ei ej) = 0, (i ¹ j).

Если данное условие не выполняется, то говорят, что случайный член подвержен автокорреляции. В этом случае коэффициенты регрессии, получаемые по МНК, оказываются неэффективными, хотя и несмещенными, а их стандартные ошибки рассчитываются некорректно (занижаются).

Причиной автокорреляции может быть либо неверная спецификация модели, либо наличие неучтенных факторов. Устранение этих причин не всегда дает нужные результаты. Автокорреляция имеет собственные внутренние причины, связанные с автокорреляционной зависимостью.

Автокорреляция обычно встречается в регрессионном анализе при использовании данных временных рядов. В силу этого в дальнейшем вместо символа i порядкового номера наблюдения будем использовать символ t момента наблюдения.

Необходимым условием независимости случайных членов является их некоррелированность для каждых двух соседних значений.

Пусть r – есть коэффициент корреляции между двумя случайными соседними членами et и et –1:

– если r > 0, то автокорреляция положительная;

– если r < 0, то автокорреляция отрицательная;

– если r = 0, то автокорреляция отсутствует и третье условие Гаусса-Маркова удовлетворяется.

Поскольку значения случайных членов et неизвестны, то проверяется статистическая некоррелированность остатков et и et –1 с использование обычного МНК.

Соответствующей оценкой коэффициента корреляции r является коэффициент автокорреляции остатков первого порядка, который при достаточно большом числе наблюдений имеет вид:

.

Считается, что .

Выдвигается нулевая гипотеза об отсутствии корреляции первого порядка, т.е. H 0: r  = 0. В качестве альтернативной гипотезы может выступать либо H 1: r > 0, либо H 2: r < 0.

Для проверки нулевой гипотезы используют статистику Дарбина-Уотсона, рассчитываемую по формуле:

.

Если автокорреляция остатков отсутствует ( r = 0), то .

При положительной автокорреляции (r >0) имеем , а при отрицательной автокорреляции (r < 0) – соответственно, .

По таблице определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона d 1 и d 2для заданного числа наблюдений, числа объясняющих переменных и уровня значимости. По этим значениям отрезок [0; 4] разбивается на пять зон (рис. 2). В зависимости от того, в какую зону попадает расчетное значение критерия, принимают или отвергают соответствующую гипотезу.

d

Рис. 2

Наличие зоны неопределенности связано с тем, что распределение DW -статистики зависит не только от числа наблюдений и числа объясняющих переменных, но и от значений объясняющих переменных.

Пример 1.5. Имеются данныеоб объеме предложения товара y, его цены x 1 и зарплаты сотрудников x 2 за 10 месяцев (усл. ед.). Выявим на уровне значимости 0,05 наличие автокорреляции остатков в модели регрессии:

y = b 0 + b 1x1 + b 2x2 + e

Исходные данные и результаты промежуточных расчетов представлены в таблице.

t x 1 x 2 y et et -1
        8,30 -
        4,26 8,30
        -12,46 4,26
        -1,86 -12,46
5       -7,38 -1,86
        5,26 -7,38
        -9,66 5,26
        -2,26 -9,66
        8,34 -2,26
        7,46 8,34

 

Выборочная регрессия для этой модели есть .

Коэффициент автокорреляции остатков первого порядка r = –0,02512, следовательно, значение критерия Дарбина-Уотсона для этой модели составляет DW = 2,05. По таблице распределения Дарбина-Уотсона находим d 1 = 0,70 и d 2 = 1,64. Поскольку d 2 < DW < 4 – d 2, то нет оснований отклонять гипотезу H 0 об отсутствии автокорреляции в остатках.

Замечание. Тест Дарбина-Уотсона построен в предположении, что объясняющие переменные некоррелированы со случайным членом. Поэтому тест Дарбина-Уотсона неприменим к моделям, включающим в качестве объясняющих переменных лаговые значения зависимой переменной y.



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2019-02-11 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: