Основные виды математических моделей, принимаемых при исследованиях.

Построение регрессионных моделей

Цель работы: получить регрессионную модель третьего порядка, используя данные индивидуального задания и проанализировать полученные результаты.

Исходные данные. Для каждого студента преподавателем выдается индивидуальное задание. Оно должно содержать результаты реализованного эксперимента.

Общие положения.

Основные предпосылки применения регрессионного анализа.

В основе обработки результатов активного и пассивного экспериментов с количественными факторами лежит регрессионный анализ, который включает метод отыскания математической модели и статистическую обработку данных эксперимента. Задачами регрессионного анализа являются: получение математической модели процесса; проверка адекватности полученной модели; оценка влияния каждого фактора на процесс.

Предпосылки, при которых может быть использован регрессионный анализ для получения математической модели:

- независимые переменные не являются случайными величинами, а задаются исследователем с высокой точностью;

- измеряемые выходные величины являются независимыми, нормально распределенными случайными величинами;

- каждая из независимых переменных не является линейной комбинацией остальных независимых переменных;

- интервал между значениями факторов в соседних точках не должен быть меньше или равен ошибке, с которой задается этот интервал;

- значения отклика в точках факторного пространства должны определятся независимо друг от друга;

- в исследуемом интервале варьирования факторов дисперсии воспроизводимости должны быть равны, а их выборочные оценки однородны. Проверка оценок дисперсии на однородность проводится по критериям Фишера, Кохрена и Бартлетта.

Основные виды математических моделей, принимаемых при исследованиях.

Зависимость отклика от варьируемых факторов , полученная с применением регрессионного анализа называется регрессионной моделью

= f (). (1)

Регрессионная модель является частным случаем математической модели объекта. Вид регрессионной модели может быть различным (многочлен определенного порядка, экспонента, тригонометрический многочлен и др.). Обычно он выбирается исследователем до проведения эксперимента. Чтобы оценить применимость построенной модели в планировании эксперимента предусмотрена специальная процедура – проверка адекватности регрессионной модели. Наибольшее применение нашли методы планирования эксперимента, в которых регрессионные модели объектов представляются в виде многочленов первого и второго порядка от варьируемых факторов. В общем случае, при наличии k факторов линейная регрессионная модель объекта имеет вид

y= + ∙ + ∙ +…+ ∙ . (2)

Коэффициенты регрессии , , ,…, определяются по результатам эксперимента.

В случае трех факторов квадратичная регрессионная модель объекта имеет вид

y= + ∙ + ∙ + ∙ + ∙ +B₂₂∙ +В₃₃∙ +

+ ∙ ∙ + ∙ ∙ + ∙ ∙ . (3)

Как видим модель второго порядка (3) включает в себя все слагаемые линейной модели и дополнительно содержит квадратичные члены и члены с парными взаимодействиями.