Пример построения линейной регрессионной модели.

Предварительными исследованиями было установлено, что важнейшими факторами гидролиза древесной массы, влияющими на предел прочности при изгибе (, ), являются:

- температура (, ),

- время (, ),

- кислотность древесной массы (, ).

Для установления зависимости от перечисленных факторов была запланирована реализация В-плана . Значения уровней факторов и интервалы их варьирования приведены в таблице 4.

 

Таблица 4 – Факторы их уровни и интервал варьирования

Факторы	Уровни факторов	Интервал варьирован.
Наименование	Обозначение	нижний	основной	верхний
натураль-ное	нормализо-ванное
Температура,			20 (-1)	40 (0)	60 (+1)
Время,			0 (-1)	30 (0)	60 (+1)
Кислотность,			4,5 (-1)	4,85 (0)	5,2 (+1)	0,35

 

Формулы, связывающие нормализованные и натуральные значения факторов, имеют в данном случае вид:

=( -40)/20, =( -30)/30, =( -4,85)/0,35. (21)

Для проверки гипотезы о нормальном распределении выходной величины была поставлена отдельная серия из 50 опытов в условиях: =20 ; =0 ; =5,2 . Нормальность распределения проверялась по критерию Пирсона. Вычисленное значение =3,55 оказалось меньше , найденного при уровне значимости =0,05 ( =5,99). Это позволило принять гипотезу о нормальном распределении выходной величины эксперимента.

Далее на основании той же серии опытов было рассчитано необходимое число дублированных опытов, которое оказалось равным пяти ( =5).

 

Таблица 5 – Значения факторов, результаты опытов и расчетов

№ опыта	Значения факторов	Результаты опытов ,	Результаты расчетов
натуральные	нормализованные
,	,	,
			4,5	-1	-1	-1		41,5	40,5			40,2	1,330
			4,5	+1	-1	-1			43,5	43,5		44,2	1,075
			4,5	-1	+1	-1		53,5				52,7	0,450
			4,5	+1	+1	-1						49,2	2,200
			5,2	-1	-1	+1				34,5		32,9	2,050
			5,2	+1	-1	+1				36,5	36,5	37,4	1,175
			5,2	-1	+1	+1			46,5	46,5		45,2	2,075
			5,2	+1	+1	+1		52,5	53,5	53,5		53,5	0,875

Матрица В-плана в нормализованных обозначениях факторов, приведенная в таблице 5, была реализована в ходе эксперимента. В десятом столбце приведены значения отклика, усредненные по дублированным опытам каждой из этих серий

=()/n; j=1, 2, …, 8; n=1, 2, …, 5.

Одиннадцатый столбец содержит результаты расчета дисперсий по каждой серии дублированных опытов

=[ ]/(n-1); j=1, 2, …, 8.

Выполним проверку однородности дисперсий опытов. Поскольку в нашем случае имеется равномерное дублирование опытов, то для этого можно использовать критерий Кохрена [1]. Максимальной из дисперсий является дисперсия четвертого опыта =2,200. Поэтому

= /()=2,200/11,225=0,196.

Из таблиц Кохрена для =0,01, =n-1= 5-1=4 (число степеней свободы каждой выборки), p=8 (количество выборок (j)), находим: =0,463. Полученное соотношение =0,196 < =0,463 позволяет принять гипотезу об однородности дисперсий опытов.

Находим оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента как среднее арифметическое дисперсий опытов

=()/j=11,225/8=1,403.

Регрессионную модель объекта отыскиваем в виде неполного многочлена третьего порядка, позволяющего учесть наряду с линейными членами все взаимодействия факторов

= + · + · + · + · · + · · + · · + · · ·

Коэффициенты регрессии вычислим по формулам вида =()/j с помощью матрицы базисных функций, приведенной в таблице 5. Для удобства проведения расчетов выполним предварительно некоторые операции в таблице 6 по формулам, указанным в ее шапке.

 

Таблица 6 – Значения факторов и результаты расчетов

№ опыта	Факторы			·	·	·	·	· ·	· ·	· ·	· · ·
		-1	-1	-1	40,2	1,325	40,2	-40,2	-40,2	-40,2	40,2	40,2	40,2	-40,2
		+1	-1	-1	44,2	1,075	44,2	44,2	-44,2	-44,2	-44,2	-44,2	44,2	44,2
		-1	+1	-1	52,7	0,45	52,7	-52,7	52,7	-52,7	-52,7	52,7	-52,7	52,7
		+1	+1	-1	49,2	2,2	49,2	49,2	49,2	-49,2	49,2	-49,2	-49,2	-49,2
		-1	-1	+1	32,9	2,05	32,9	-32,9	-32,9	32,9	32,9	-32,9	-32,9	32,9
		+1	-1	+1	37,4	1,175	37,4	37,4	-37,4	37,4	-37,4	37,4	-37,4	-37,4
		-1	+1	+1	45,2	2,075	45,2	-45,2	45,2	45,2	-45,2	-45,2	45,2	-45,2
		+1	+1	+1	53,5	0,875	53,5	53,5	53,5	53,5	53,5	53,5	53,5	53,5
Σ					355,3	11,225	355,3	13,3	45,9	-17,3	-3,7	12,3	10,9	11,3

 

 

=( · )/j=355,3/8=44,4125; =( · )/j=13,3/8=1,6625;

=( · )/j)=45,9/8=5,7375; =( · )/j=-17,3/8=-2,1625;

=( · · )/j)=-3,7/8=-0,4675; =( · · )/j=12,3/8=1,5375;

=( · · )/j)=10,9/8=1,3625; =( · · · )/j=11,3/8=1,4125.

Уравнение регрессии в нормализованных обозначениях факторов имеет вид

=44,4123+1,6625· +5,7375· -2,1625· -0,4625· · +

+1,5375· · +1,3625· · +1,4125· · · .

Статистический анализ полученного уравнения регрессии начнем с отыскания дисперсий коэффициентов регрессии. Все они одинаковы и равны = /(n∙j)=1,403/(5∙8)=0,0351.

Среднеквадратическое отклонение для каждого коэффициента регрессии составляет s(b_i)= = =0,1873.

Произведем оценку значимости найденных коэффициентов регрессии. Для этого определяем из таблиц t-распределения Стьюдента при уровне значимости =0,01 и числе степеней свободы , связанном с дисперсией воспроизводимости. Поскольку имеет место равномерное дублирование опытов, величину определяем по формуле

=j·(n-1)=8·(5-1)=32.

Из указанных таблиц принимаем =2,74. Теперь проверим выполнимость соотношения │b_i│≤ ·s(b_i)=2,74·0,1873=0,5132.

Оно выполняется только для коэффициента : 0,4675≤0,5132. Поэтому коэффициент следует признать незначимым и исключить из уравнения регрессии. Все остальные коэффициенты регрессии оказались значимыми и пересчет их не требуется. Регрессионная модель после отбрасывания незначимого члена приняла следующий вид

=44,4123+1,6625· +5,7375· -2,1625· +

+1,5375· · +1,3625· · +1,4125· · · . (22)

Определим доверительные интервалы для каждого из значимых коэффициентов регрессии, обозначая истинную величину этого коэффициента через , по формулам:

b_i- ·s(b_i) ≤ ≤ b_i+ ·s(b_i)

а) для 44,4123-0,5132≤ ≤44,4123+0,5132 43,899≤ ≤44,926;

б) для 1,6625-0,5132≤ ≤1,6625+0,5132 1,149≤ ≤2,176;

в) для 5,7375-0,5132≤ ≤5,7375+0,5132 5,224≤ ≤6,251;

г) для 2,1625-0,5132≤ ≤2,1625+0,5132 2,676≤ ≤1,649;

д) для 1,5375-0,5132≤ ≤1,5375+0,5132 1,024≤ ≤2,051;

е) для 1,3625-0,5132≤ ≤1.3625+0,5132 0,849≤ ≤1,876;

ж) для 1,4125-0,5132≤ ≤1.4125+0,5132 0,899≤ ≤1,926;

Проверим теперь адекватность математической модели (22). Дисперсию адекватности , учитывая дублирование опытов, найдем по формуле

= = =5∙[(40,2-40,663)²+(44,2-43,738)²+

+(52,7-52,238)²+(49,2-40,663)²+(32,9-33,353)²+(37,4-36,938)²+

+(45,2-44,738)²+(53,5-53,963)²]/(8-7)=8,556.

где – число коэффициентов регрессии анализируемой модели, =7.

– значение отклика в j-ом опыте, рассчитанное по уравнению (22).

Из таблиц F-критерия Фишера для =0,01 и числа степеней свободы =n-p=8-7=1 (числитель) и =j∙(n-1)=8∙(5-1)=32 (знаменатель) находим =7,51, а расчетное значение этого критерия найдем по формуле

= / =8,556/1,403=6,098.

Из сравнения расчетного и табличного значений критериев Фишера =6,098 < =7,51 следует, что гипотеза об адекватности найденной линейной модели (22) подтверждается.

Для получения регрессионной модели с натуральными обозначениями факторов в уравнение (22) подставим выражения для , , из (21)

=127,46+0,366· +1,287· -19,59· -0,08· · -0,206· · +

+0,0485· · +0,01· · · . (23)

В линейную модель с натуральными обозначениями факторов (23) «вернулся» ранее признанный незначимым коэффициент, учитывающий взаимодействие первого и второго факторов. Очевидно, что с отбрасыванием незначимых коэффициентов не нужно спешить. Не отбрасывая незначимый коэффициент из уравнения, имели бы

=44,4123+1,6625· +5,7375· -2,1625· -0,4625· · +

+1,5375· · +1,3625· · +1,4125· · · . (22^’)

Тогда, подставляя в регрессионное уравнение (22^’) значения нормализованных факторов по формулам (21), получим

=44,4123+1,6625·( -40)/20+5,7375·( -30)/30-2,1625·( -4,85)/0,35-

-0,4625·( -40)/20·( -30)/30+1,5375·( -40)/20·( -4,85)/0,35+

+1,3625·( -30)/30·( -4,85)/0,35+1,4125·( -40)/20·( -30)/30·( -4,85)/0,35.

После элементарных преобразований окончательно получим

=86,736+0,0196· +0,898· -10,786· -0,0334· · +0,0179· · -

-0,1393· · -0,00673· · · . (23^’)

Производя подстановку значений факторов, согласно плану эксперимента, в модель (23^’) получим результаты, приведенные в таблице 7.

 

Таблица 7 – Значения отклика из опытов и по уравнениям регрессии

№ опыта
	40,2	44,2	52,7	49,2	32,9	37,4	45,2	53,5
по (23)	40,66	43,74	52,24	49,66	33,36	36,94	44,74	53,96
по (23’)	40,199	44,199	52,699	49,199	32,899	37,399	45,199	53,499

 

Наглядное представление о влиянии факторов и их взаимодействий на отклик дает изучение графиков, построенных по уравнению (23).

Проанализируем, например, влияние фактора и взаимодействия и = f( ). Для простоты рассмотрим только три прямые из семейства зависимостей.

I. При =-1 и =-1, что соответствует фиксированию факторов и на нижнем уровне. Подставляя значения =-1 и =-1 в уравнение (22) получим

=46,4498+5,7875·

- при =-1 =46,4498+5,7875·(-1)=40,6623;

- при =0 =46,4498+5,7875·(0)=46,4498;

- при =+1 =46,4498+5,7875·(+1)=52,2373.

По этим значениям на графике построена прямая 1.

II. При =0 и =0, что соответствует фиксированию факторов и на основном уровне. Подставляя значения =0 и =0 в уравнение (22) получим

=44,4123+5,7375·

- при =-1 =44,4123+5,7375·(-1)=38,6748;

- при =0 =44,4123+5,7375·(0)=44,4123;

- при =+1 =44,4123+5,7375·(+1)=50,1498.

По этим значениям на графике построена прямая 2.

III. При =+1 и =+1, что соответствует фиксированию факторов и на верхнем уровне. Подставляя значения =+1 и =+1 в уравнение (22) получим

=45,4498+8,5125·

- при =-1 =45,4498+8,5125·(-1)=36,9373;

- при =0 =45,4498+8,5125·(0)=45,4498;

- при =+1 =45,4498+8,5125·(+1)=53,9623.

По этим значениям на графике построена прямая 3.

 

 

Рисунок 3 − Графики зависимостей отклика от фактора ()

 

Поскольку с ростом фактора отклик падает ( <0), то прямая 2 лежит ниже прямой 1, а начало прямой 3 является самым низким значением отклика (при =+1, =-1, =+1). Из-за того, что >0 и >0, прямая 3 наклонена под большим углом к оси абсцисс, чем прямые 1 и 2. Отсюда следует, что при большем значении кислотности (в большей степени) и температуры (в меньшей степени) изменение времени гидролиза оказывает более сильное влияние на предел прочности . Так интерпретируется роль парного взаимодействия факторов и , а также тройного взаимодействия всех факторов.

Аналогично можно проанализировать влияние на отклик других факторов и их парного или тройного взаимодействия.

Задание. Необходимо проанализировать степень влияния факторов и построить графики зависимостей отклика от каждого фактора при трех сочетаниях уровней варьирования остальных факторов (три графика с тремя прямыми).

Литература

1. ГОСТ Р 56604-2015/ISO/TR 24697:2011. Материалы и изделия текстильные. Руководство по определению прецизионности стандартного метода испытания путем межлабораторных испытаний.

2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / 11-е изд. стереотипное. – М.: Высшая школа, 2005. – 480 с.

3. Ивченко Г.И. Математическая статистика. Учебное пособие для вузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. – М.: Высшая школа, 1984. – 248 с.

4. Пижурин А.А. Основы научных исследований в деревообработке. – М.: МГУЛ, 2007. – 305 с.

5. Пижурин А.А. Исследования процессов в деревообработке / А.А. Пижурин, М.С. Розенблит. – М.: «Лесная промышленность», 1984. – 232с.

 

Викторов Дмитрий Александрович

 

Методические указания

к контрольной работе

по дисциплине «Основы научных исследований и патентоведения»

для направления подготовки бакалавров 08.03.01 «Строительство»

по профилю «Промышленное и гражданское строительство»

 

 

Формат Объём п.л. Тираж экз.

Заказ Бесплатно

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Брянский государственный инженерно-технологический университет»

г. Брянск, пр-т Станке Димитрова 3, редакционно-издательский отдел

Отпечатано: подразделение оперативной печати ФГБОУ ВО «БГИТУ»