Предварительными исследованиями было установлено, что важнейшими факторами гидролиза древесной массы, влияющими на предел прочности при изгибе (,
), являются:
- температура (,
),
- время (,
),
- кислотность древесной массы (,
).
Для установления зависимости от перечисленных факторов была запланирована реализация В-плана
. Значения уровней факторов и интервалы их варьирования приведены в таблице 4.
Таблица 4 – Факторы их уровни и интервал варьирования
Факторы | Уровни факторов | Интервал варьирован. | ||||
Наименование | Обозначение | нижний | основной | верхний | ||
натураль-ное | нормализо-ванное | |||||
Температура, ![]() | ![]() | ![]() | 20 (-1) | 40 (0) | 60 (+1) | |
Время, ![]() | ![]() | ![]() | 0 (-1) | 30 (0) | 60 (+1) | |
Кислотность, ![]() | ![]() | ![]() | 4,5 (-1) | 4,85 (0) | 5,2 (+1) | 0,35 |
Формулы, связывающие нормализованные и натуральные значения факторов, имеют в данном случае вид:
=(
-40)/20,
=(
-30)/30,
=(
-4,85)/0,35. (21)
Для проверки гипотезы о нормальном распределении выходной величины была поставлена отдельная серия из 50 опытов в условиях: =20
;
=0
;
=5,2
. Нормальность распределения проверялась по критерию
Пирсона. Вычисленное значение
=3,55 оказалось меньше
, найденного при уровне значимости
=0,05 (
=5,99). Это позволило принять гипотезу о нормальном распределении выходной величины эксперимента.
Далее на основании той же серии опытов было рассчитано необходимое число дублированных опытов, которое оказалось равным пяти ( =5).
Таблица 5 – Значения факторов, результаты опытов и расчетов
№ опыта | Значения факторов | Результаты опытов ![]() ![]() | Результаты расчетов | |||||||||||
натуральные | нормализованные | |||||||||||||
![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ||
4,5 | -1 | -1 | -1 | 41,5 | 40,5 | 40,2 | 1,330 | |||||||
4,5 | +1 | -1 | -1 | 43,5 | 43,5 | 44,2 | 1,075 | |||||||
4,5 | -1 | +1 | -1 | 53,5 | 52,7 | 0,450 | ||||||||
4,5 | +1 | +1 | -1 | 49,2 | 2,200 | |||||||||
5,2 | -1 | -1 | +1 | 34,5 | 32,9 | 2,050 | ||||||||
5,2 | +1 | -1 | +1 | 36,5 | 36,5 | 37,4 | 1,175 | |||||||
5,2 | -1 | +1 | +1 | 46,5 | 46,5 | 45,2 | 2,075 | |||||||
5,2 | +1 | +1 | +1 | 52,5 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | 0,875 | ||||||
Матрица В-плана в нормализованных обозначениях факторов, приведенная в таблице 5, была реализована в ходе эксперимента. В десятом столбце приведены значения отклика, усредненные по дублированным опытам каждой из этих серий
=(
)/n; j=1, 2, …, 8; n=1, 2, …, 5.
Одиннадцатый столбец содержит результаты расчета дисперсий по каждой серии дублированных опытов
=[
]/(n-1); j=1, 2, …, 8.
Выполним проверку однородности дисперсий опытов. Поскольку в нашем случае имеется равномерное дублирование опытов, то для этого можно использовать критерий Кохрена [1]. Максимальной из дисперсий является дисперсия четвертого опыта =2,200. Поэтому
=
/(
)=2,200/11,225=0,196.
Из таблиц Кохрена для =0,01,
=n-1= 5-1=4 (число степеней свободы каждой выборки), p=8 (количество выборок (j)), находим:
=0,463. Полученное соотношение
=0,196 <
=0,463 позволяет принять гипотезу об однородности дисперсий опытов.
Находим оценку дисперсии воспроизводимости эксперимента как среднее арифметическое дисперсий опытов
=(
)/j=11,225/8=1,403.
Регрессионную модель объекта отыскиваем в виде неполного многочлена третьего порядка, позволяющего учесть наряду с линейными членами все взаимодействия факторов
=
+
·
+
·
+
·
+
·
·
+
·
·
+
·
·
+
·
·
·
Коэффициенты регрессии вычислим по формулам вида =(
)/j с помощью матрицы базисных функций, приведенной в таблице 5. Для удобства проведения расчетов выполним предварительно некоторые операции в таблице 6 по формулам, указанным в ее шапке.
Таблица 6 – Значения факторов и результаты расчетов
№ опыта | Факторы | ![]() | ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | |||||||||||
-1 | -1 | -1 | 40,2 | 1,325 | 40,2 | -40,2 | -40,2 | -40,2 | 40,2 | 40,2 | 40,2 | -40,2 | ||
+1 | -1 | -1 | 44,2 | 1,075 | 44,2 | 44,2 | -44,2 | -44,2 | -44,2 | -44,2 | 44,2 | 44,2 | ||
-1 | +1 | -1 | 52,7 | 0,45 | 52,7 | -52,7 | 52,7 | -52,7 | -52,7 | 52,7 | -52,7 | 52,7 | ||
+1 | +1 | -1 | 49,2 | 2,2 | 49,2 | 49,2 | 49,2 | -49,2 | 49,2 | -49,2 | -49,2 | -49,2 | ||
-1 | -1 | +1 | 32,9 | 2,05 | 32,9 | -32,9 | -32,9 | 32,9 | 32,9 | -32,9 | -32,9 | 32,9 | ||
+1 | -1 | +1 | 37,4 | 1,175 | 37,4 | 37,4 | -37,4 | 37,4 | -37,4 | 37,4 | -37,4 | -37,4 | ||
-1 | +1 | +1 | 45,2 | 2,075 | 45,2 | -45,2 | 45,2 | 45,2 | -45,2 | -45,2 | 45,2 | -45,2 | ||
+1 | +1 | +1 | 53,5 | 0,875 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | 53,5 | ||
Σ | 355,3 | 11,225 | 355,3 | 13,3 | 45,9 | -17,3 | -3,7 | 12,3 | 10,9 | 11,3 |
=(
·
)/j=355,3/8=44,4125;
=(
·
)/j=13,3/8=1,6625;
=(
·
)/j)=45,9/8=5,7375;
=(
·
)/j=-17,3/8=-2,1625;
=(
·
·
)/j)=-3,7/8=-0,4675;
=(
·
·
)/j=12,3/8=1,5375;
=(
·
·
)/j)=10,9/8=1,3625;
=(
·
·
·
)/j=11,3/8=1,4125.
Уравнение регрессии в нормализованных обозначениях факторов имеет вид
=44,4123+1,6625·
+5,7375·
-2,1625·
-0,4625·
·
+
+1,5375· ·
+1,3625·
·
+1,4125·
·
·
.
Статистический анализ полученного уравнения регрессии начнем с отыскания дисперсий коэффициентов регрессии. Все они одинаковы и равны =
/(n∙j)=1,403/(5∙8)=0,0351.
Среднеквадратическое отклонение для каждого коэффициента регрессии составляет s(bi)= =
=0,1873.
Произведем оценку значимости найденных коэффициентов регрессии. Для этого определяем из таблиц t-распределения Стьюдента при уровне значимости
=0,01 и числе степеней свободы
, связанном с дисперсией воспроизводимости. Поскольку имеет место равномерное дублирование опытов, величину
определяем по формуле
=j·(n-1)=8·(5-1)=32.
Из указанных таблиц принимаем =2,74. Теперь проверим выполнимость соотношения │bi│≤
·s(bi)=2,74·0,1873=0,5132.
Оно выполняется только для коэффициента : 0,4675≤0,5132. Поэтому коэффициент
следует признать незначимым и исключить из уравнения регрессии. Все остальные коэффициенты регрессии оказались значимыми и пересчет их не требуется. Регрессионная модель после отбрасывания незначимого члена приняла следующий вид
=44,4123+1,6625·
+5,7375·
-2,1625·
+
+1,5375· ·
+1,3625·
·
+1,4125·
·
·
. (22)
Определим доверительные интервалы для каждого из значимых коэффициентов регрессии, обозначая истинную величину этого коэффициента через , по формулам:
bi- ·s(bi) ≤
≤ bi+
·s(bi)
а) для 44,4123-0,5132≤
≤44,4123+0,5132 43,899≤
≤44,926;
б) для 1,6625-0,5132≤
≤1,6625+0,5132 1,149≤
≤2,176;
в) для 5,7375-0,5132≤
≤5,7375+0,5132 5,224≤
≤6,251;
г) для 2,1625-0,5132≤
≤2,1625+0,5132 2,676≤
≤1,649;
д) для 1,5375-0,5132≤
≤1,5375+0,5132 1,024≤
≤2,051;
е) для 1,3625-0,5132≤
≤1.3625+0,5132 0,849≤
≤1,876;
ж) для 1,4125-0,5132≤
≤1.4125+0,5132 0,899≤
≤1,926;
Проверим теперь адекватность математической модели (22). Дисперсию адекватности , учитывая дублирование опытов, найдем по формуле
=
=
=5∙[(40,2-40,663)2+(44,2-43,738)2+
+(52,7-52,238)2+(49,2-40,663)2+(32,9-33,353)2+(37,4-36,938)2+
+(45,2-44,738)2+(53,5-53,963)2]/(8-7)=8,556.
где – число коэффициентов регрессии анализируемой модели,
=7.
– значение отклика в j-ом опыте, рассчитанное по уравнению (22).
Из таблиц F-критерия Фишера для =0,01 и числа степеней свободы
=n-p=8-7=1 (числитель) и
=j∙(n-1)=8∙(5-1)=32 (знаменатель) находим
=7,51, а расчетное значение этого критерия найдем по формуле
=
/
=8,556/1,403=6,098.
Из сравнения расчетного и табличного значений критериев Фишера =6,098 <
=7,51 следует, что гипотеза об адекватности найденной линейной модели (22) подтверждается.
Для получения регрессионной модели с натуральными обозначениями факторов в уравнение (22) подставим выражения для ,
,
из (21)
=127,46+0,366·
+1,287·
-19,59·
-0,08·
·
-0,206·
·
+
+0,0485· ·
+0,01·
·
·
. (23)
В линейную модель с натуральными обозначениями факторов (23) «вернулся» ранее признанный незначимым коэффициент, учитывающий взаимодействие первого и второго факторов. Очевидно, что с отбрасыванием незначимых коэффициентов не нужно спешить. Не отбрасывая незначимый коэффициент из уравнения, имели бы
=44,4123+1,6625·
+5,7375·
-2,1625·
-0,4625·
·
+
+1,5375· ·
+1,3625·
·
+1,4125·
·
·
. (22’)
Тогда, подставляя в регрессионное уравнение (22’) значения нормализованных факторов по формулам (21), получим
=44,4123+1,6625·(
-40)/20+5,7375·(
-30)/30-2,1625·(
-4,85)/0,35-
-0,4625·( -40)/20·(
-30)/30+1,5375·(
-40)/20·(
-4,85)/0,35+
+1,3625·( -30)/30·(
-4,85)/0,35+1,4125·(
-40)/20·(
-30)/30·(
-4,85)/0,35.
После элементарных преобразований окончательно получим
=86,736+0,0196·
+0,898·
-10,786·
-0,0334·
·
+0,0179·
·
-
-0,1393· ·
-0,00673·
·
·
. (23’)
Производя подстановку значений факторов, согласно плану эксперимента, в модель (23’) получим результаты, приведенные в таблице 7.
Таблица 7 – Значения отклика из опытов и по уравнениям регрессии
№ опыта | ||||||||
![]() | 40,2 | 44,2 | 52,7 | 49,2 | 32,9 | 37,4 | 45,2 | 53,5 |
![]() | 40,66 | 43,74 | 52,24 | 49,66 | 33,36 | 36,94 | 44,74 | 53,96 |
![]() | 40,199 | 44,199 | 52,699 | 49,199 | 32,899 | 37,399 | 45,199 | 53,499 |
Наглядное представление о влиянии факторов и их взаимодействий на отклик дает изучение графиков, построенных по уравнению (23).
Проанализируем, например, влияние фактора и взаимодействия
и
= f(
). Для простоты рассмотрим только три прямые из семейства зависимостей.
I. При =-1 и
=-1, что соответствует фиксированию факторов
и
на нижнем уровне. Подставляя значения
=-1 и
=-1 в уравнение (22) получим
=46,4498+5,7875·
- при =-1
=46,4498+5,7875·(-1)=40,6623;
- при =0
=46,4498+5,7875·(0)=46,4498;
- при =+1
=46,4498+5,7875·(+1)=52,2373.
По этим значениям на графике построена прямая 1.
II. При =0 и
=0, что соответствует фиксированию факторов
и
на основном уровне. Подставляя значения
=0 и
=0 в уравнение (22) получим
=44,4123+5,7375·
- при =-1
=44,4123+5,7375·(-1)=38,6748;
- при =0
=44,4123+5,7375·(0)=44,4123;
- при =+1
=44,4123+5,7375·(+1)=50,1498.
По этим значениям на графике построена прямая 2.
III. При =+1 и
=+1, что соответствует фиксированию факторов
и
на верхнем уровне. Подставляя значения
=+1 и
=+1 в уравнение (22) получим
=45,4498+8,5125·
- при =-1
=45,4498+8,5125·(-1)=36,9373;
- при =0
=45,4498+8,5125·(0)=45,4498;
- при =+1
=45,4498+8,5125·(+1)=53,9623.
По этим значениям на графике построена прямая 3.
![]() |
Рисунок 3 − Графики зависимостей отклика от фактора (
)
Поскольку с ростом фактора отклик падает (
<0), то прямая 2 лежит ниже прямой 1, а начало прямой 3 является самым низким значением отклика (при
=+1,
=-1,
=+1). Из-за того, что
>0 и
>0, прямая 3 наклонена под большим углом к оси абсцисс, чем прямые 1 и 2. Отсюда следует, что при большем значении кислотности
(в большей степени) и температуры
(в меньшей степени) изменение времени гидролиза
оказывает более сильное влияние на предел прочности
. Так интерпретируется роль парного взаимодействия факторов
и
, а также тройного взаимодействия всех факторов.
Аналогично можно проанализировать влияние на отклик других факторов и их парного или тройного взаимодействия.
Задание. Необходимо проанализировать степень влияния факторов и построить графики зависимостей отклика от каждого фактора при трех сочетаниях уровней варьирования остальных факторов (три графика с тремя прямыми).
Литература
1. ГОСТ Р 56604-2015/ISO/TR 24697:2011. Материалы и изделия текстильные. Руководство по определению прецизионности стандартного метода испытания путем межлабораторных испытаний.
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика / 11-е изд. стереотипное. – М.: Высшая школа, 2005. – 480 с.
3. Ивченко Г.И. Математическая статистика. Учебное пособие для вузов / Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев. – М.: Высшая школа, 1984. – 248 с.
4. Пижурин А.А. Основы научных исследований в деревообработке. – М.: МГУЛ, 2007. – 305 с.
5. Пижурин А.А. Исследования процессов в деревообработке / А.А. Пижурин, М.С. Розенблит. – М.: «Лесная промышленность», 1984. – 232с.
Викторов Дмитрий Александрович
Методические указания
к контрольной работе
по дисциплине «Основы научных исследований и патентоведения»
для направления подготовки бакалавров 08.03.01 «Строительство»
по профилю «Промышленное и гражданское строительство»
Формат Объём п.л. Тираж экз.
Заказ Бесплатно
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего образования
«Брянский государственный инженерно-технологический университет»
г. Брянск, пр-т Станке Димитрова 3, редакционно-издательский отдел
Отпечатано: подразделение оперативной печати ФГБОУ ВО «БГИТУ»