О. Функция 
имеет в точке 
локальный максимум, если существует такая окрестность 
точки , что
.
О. – точка строгого локального максимума, если
.
О. Функция имеет в точке локальный минимум, если существует такая окрестность точки , что
.
О. – точка строгого локального максимума, если
.
Локальный максимум и локальный минимум объединяются названием локальный экстремум.
Теорема Ферма
Теорема Ферма Если имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то 
.
Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции 
в точке локального экстремума параллельна оси Ох.
Теорема Ролля
Теорема Ролля (о нулях производной) Если 
непрерывна на отрезке 
, принимает в концах этого отрезка равные значения 
и дифференцируема на интервале 
, то существует точка 
, в которой 
.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы Ролля существует точка 
, в которой касательная к графику функции 
параллельна оси Ох.
6.4 Формула Лагранжа конечных приращений.
Теорема Лагранжа Если непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что 
.
Геометрический смысл теоремы Лагранжа: 
, в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей точки 
и 
.
Следствия 1)Если функция дифференцируема на интервале 
и 
, то 
на 
.
2) Если 
на , то не убывает на .
Если 
на , то не возрастает на .
3) Если две непрерывные функции имеют одинаковые производные, то они отличаются на 
, т.е. 
.
Правило Лопиталя
Теорема 1 Пусть и 
дифференцируемы на интервале , 
, 
, 
и существует конечный или бесконечный 
. Тогда 
тоже существует и равен А, т.е. 
.
Замечание. Утверждение теоремы справедливо и при 
, и при 
, и при 
.
Теорема 2 Пусть 1) и 
дифференцируемы при 
, причем 
при 
;
2) 
, 
;
3) существует конечный 
.
Тогда существует 
.
Замечание. Правило Лопиталя служит для раскрытия неопреде-ленностей вида 
и 
. Иногда к этим неопределенностям удается свести неопределенности 
.
Исследование функций с помощью производной
Возрастание и убывание функций
Теорема 1 (критерий возрастания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Теорема 2 (критерий убывания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале функция была убывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Теорема 3 (достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции) Если 
, то строго возрастает на интервале . Если 
, то строго убывает на интервале .
Теорема 4 Если непрерывна на отрезке 
, дифферен-цируема на интервале и 
для , то строго возрастает на 
.
Экстремумы функции
О. Точки, в которых 
, называются стационарными.
О. Точки, в которых непрерывна, а или не существует, называются критическими
Из теоремы Ферма следует, что если 
точка экстремума, то 
. Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.
Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для 
, но 
не является точкой экстремума.
Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть 
дифференцируема в некоторой 
и непрерывна в точке 
. Тогда 1) если 
меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. 
, а 
, то – точка строгого локального минимума функции 
;
2) если 
меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .