O. Последовательность 
называется фундаментальной, если
.
Теорема (критерий Коши) Числовая последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она является фундаментальной.
Предел функции в точке
Определение предела по Коши
Напомним, что 
окрестностью точки a называется множество
.
Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность 
.
О. Число А называется пределом функции 
в точке a, если
,
то есть для 
найдется такое 
, что для 
, отличающегося от a меньше, чем на 
, и не равного a, выполняется неравенство 
.
Пишут 
.
На языке окрестностей 
означает, что
.
Пример 1 
Решение. Здесь 
. Нужно доказать, что
.
Действительно, 
, если 
. Т. о.,
.
Пример 2 
Решение. 
, 
, если взять 
.
Значит, 
.
Теорема Если функция имеет предел в точке a, то он − единственный.
Доказательство. Допустим, 
и 
, причем для определенности будем считать, что 
.
Возьмем непересекающиеся окрестности точек 
и 
. Так как 
, то для 
. Т. к. 
, то для 
.
Рассмотрим 
. Тогда 
и 
. Противоречие. ■
Определение предела по Гейне
О. Число А называется пределом функции в точке a, если для любой последовательности , сходящейся к точке a, и такой, что 
, следует, что последовательность соответствующих значений функции 
сходится к числу А.
Т.е. 
и 
при 
.
Пример 
не существует.
Решение. Для доказательства достаточно указать две последова-тельности, сходящиеся к нулю, такие, что соответствующие значения функции стремятся к различным числам.
Возьмем 
при 
.
Но 
.
Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Различные типы пределов
а) Односторонние пределы.
О. Число 
называется пределом слева функции 
в точке a и обозначается 
, если
.
Аналогично 
означает, что
.
Пределы слева и справа называются односторонними.
Обозначаются также 
и 
.
б) Бесконечные пределы в конечной точке.
, если 
.
Например, 
.
в) Предел в бесконечности.
, если 
.
Например, 
.
Свойства пределов функции в точке
Свойство1 Если 
имеет предел в точке a, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой эта функция ограничена.
Свойство2 Если 
и 
, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой имеет тот же знак, что и число А.
Свойства, связанные с арифметическими операциями
Если 
и 
, то
1) 
;
2) 
;
3) 
, при условии, что 
.
Частный случай второй формулы: 
, 
– постоянная.
Свойства, связанные с неравенствами
1) Если 
и
, то .
2) Если 
, то 
.
3) Если 
, то 
.
Предел монотонной функции
О. Функция называется возрастающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется неубывающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется убывающей на множестве Х, если
.
О. Функция называется невозрастающей на множестве Х, если
.
Теорема 1 Для того, чтобы неубывающая функция 
имела предел при 
или 
, необходимо и достаточно, чтобы функция 
была ограничена на Х сверху.
Теорема 2 Для того, чтобы невозрастающая функция 
имела предел при 
или 
, необходимо и достаточно, чтобы функция была ограничена на Х снизу.