Составление дифференциального уравнения движения механической системы

Содержание

1. Составление дифференциального уравнения движения механической системы

2. Определение реакций внешних и внутренних связей

3. Определение закона движения системы

4. Результаты расчетов

5. Анализ результатов вычислений

6. Результаты анализа

Выводы

Цели и задачи

Наличие упругих связей в механической системе в сочетании с внешним периодическим воздействием может привести к дополнительным колебательным движениям ее элементов. Поэтому теория колебаний и, в частности, раздел, посвященный малым линейным колебаниям, имеет много важных приложений в различных областях науки и техники.

Выделение линейных моделей в особый класс вызывается рядом причин:

• с помощью линейных моделей исследуется широкий круг явлений, происходящих в различных механических системах;

• интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами является, с математической точки зрения, элементарной задачей.

Поэтому инженер–исследователь стремится по возможности описать поведение системы с помощью линейной модели для облегчения процедуры анализа ее движения.

При проектировании механических систем обычно используют критические режимы внешних воздействий на них. В этом случае внешние факторы: – коэффициент демпфирования, – амплитуда и частота возмущающей силы, изменяются незначительно. Конструктивные параметры механических систем (их геометрические размеры) определяются условиями их функционирования и, следовательно, могут изменяться в очень узком диапазоне. Актуальной становится такая задача исследования механической системы, при которой могут изменяться массовые параметры системы и жесткость упругого элемента.

Поэтому целью курсовой работы является исследование и анализ динамического поведения механической системы с упругими связями с помощью основных теорем и принципов теоретической механики.

Для достижения этой цели, необходимо решить поставленные задачи:

1. составить дифференциальное уравнение движения системы;

2. сформировать систему уравнений для определения динамических реакций внешних и внутренних связей;

3. Найти закон движения системы, т. е. проинтегрировать дифференциальное уравнение движения при заданных начальных условиях;

4. провести численный анализ полученного решения с использованием ЭВМ.

Груз 1 один подвешен на нити к центру невесомого блока 2. Меньшая ступень блока 2 прикреплена нитью к горизонтальной поверхности, а нить, намотанная на большую ступень – навита на закрепленный в центре блок 3. Далее нить с блока 3 наматывается на меньшую ступень катка 4, который катится по шероховатой горизонтальной поверхности, касаясь ее большей ступенью. Центр катка связан с пружиной, другой конец которой закреплен неподвижно. Нити и пружина, которые являются невесомыми, параллельны соответствующим плоскостям. Нити являются нерастяжимыми и абсолютно гибкими. Сопротивление, возникающее в подшипниках блока, пропорционально первой степени угловой скорости блока: . Качение катка происходит без скольжения, сопротивление качению отсутствует. Центр масс блока расположен на оси его вращения. К грузу приложена возмущающая сила . При движении системы нити всегда натянуты. Схема механической системы представлена ниже:

Исследовать движение механической системы. Определить реакции внешних и внутренних связей, если

– массы груза, блока и катка,

c – коэффициент жесткости пружины,

– коэффициент демпфирования,

- радиусы ступеней невесомого блока 2,

– радиус блока 3,

– радиусы ступеней катка 4 и радиус инерции относительно оси, проходящей через центр масс,

– предельное значение коэффициента сцепления катка 4 и опорной плоскости,

– предельное значение удлинения пружины;

— начальная координата и начальная скорость груза.

Исходные данные:

Составление дифференциального уравнения движения механической системы

Рассматриваемая механическая система имеет одну степень свободы: это обеспечивается условиями, принятыми при формулировке задания, — тела являются абсолютно твердыми, нити — нерастяжимыми и всегда натянутыми, проскальзывание при движении катка отсутствует. Следовательно, для задания положения системы нужен один параметр. Будем определять положение системы с помощью координаты S, задающей положение центра масс груза (рис.2). Начало отсчета координаты Sсовместим с положением центра масс груза при равновесии системы. Углы поворота блока и катка отсчитываем по ходу часовой стрелки. Положение центра масс катка определяем координатой

, отсчитываемой от положения центра масс катка при равновесии системы:

если , то , , и и наоборот, причем нулевому значению координаты Sсоответствуют нулевые значения координат , , и .

Для составления дифференциального уравнения движения системы используем теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме:

(1)

где: T— кинетическая энергия системы, — сумма мощностей внешних

сил, — сумма мощностей внутренних сил.

Пусть в произвольный момент система занимает положение, в котором

S>0, а скорость груза направлена вдоль опорной плоскости в положительном направлении координаты S.

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энергий тел, образующих механическую систему.

Груз 1 совершает поступательное движение. Его кинетическая энергия:

Блок 2 невесом и его кинетическая энергия равна 0.

Блок 3 совершает вращательное движение вокруг неподвижной оси. Его кинетическая энергия:

где — момент инерции блока 3 относительно оси вращения, —

модуль угловой скорости.

Каток 4 совершает плоскопараллельное движение, поэтому его кинетическая энергия равна:

Тогда кинетическая энергия всего механизма имеет вид:

(2)

Так как механическая система (мс) имеет 1 степень свободы, то величины легко выражаются через . Связи между этими величинами будут иметь вид:

(3)

Блок 3 – сплошной однородный цилиндр, для катка 4 известен радиус инерции, поэтому моменты инерции этих тел относительно осей, проходящих через их центры масс и перпендикулярных плоскости чертежа, будут вычисляться:

Подставляя моменты инерции и выражения (3) в формулу (2), получим полную кинетическую энергию системы:

(4)

где величина называется приведенной массой. кг

Теперь вычислим правую часть уравнения (1) – сумму мощностей внешних и внутренних сил, при этом учтем, что мощность силы равна скалярному произведению вектора силы на скорость точки приложения силы, а мощность пары сил – скалярному произведению вектора пары на угловую скорость твердого тела, к которому приложена пара:

Или

Рассматриваемая нами механическая система является неизменяемой, так как входящие в систему тела абсолютно твердые, а нити — абсолютно гибкие и нерастяжимые. Следовательно, скорости их точек относительно друг друга равны нулю и сумма мощностей внутренних сил также будет равна нулю

(6)

С учетом кинематических соотношений (3) сумму мощностей внешних

сил преобразуем к виду:

(7)

Где

- приведенная сила.

Упругую силу считаем пропорциональной удлинению пружины. Полное удлинение пружины равно сумме статического и динамического удлинений

Тогда

Приведенная сила в развернутом виде примет вид:

(8)

Где - приведенная жесткость,

- приведенный коэффициент сопротивления.

Подставляя выражения (4), (6) и (7) в (1), получаем после сокращения на дифференциальное уравнение движения системы:

(9)

Учтем, что при равновесии системы (возмущающая сила отсутствует) скорость и ускорение груза равны нулю по определению , а координата груза равна нулю в силу постановки задачи (начало отсчета совпадает с положением равновесия груза 1 S=0). В этом случае уравнение (9) приводится к виду , и условием равновесия системы будет служить уравнение