Найдем решение дифференциального уравнения движения механической системы (11). Данное дифференциальное уравнение относится к классу линейных неоднородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Решение таких уравнений можно найти аналитически. Общее решение неоднородного дифференциального уравнения (11) складывается из общего решения однородного уравнения 
(16)
соответствующего данному неоднородному уравнению, и какого-либо частного решения 
уравнения (11), т.е.
(17)
Решение однородного уравнения (16) ищем в виде функции
(18)
Подставив (18) в (16), получим:
Так как мы ищем нетривиальное решение, то 
. Следовательно, должно выполняться условие
Данное уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (16). Это уравнение имеет два корня:
Вид общего решения уравнения (16) зависит от типа корней его характеристического уравнения. Возможны следующие случаи:
1) n<k – корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:
и общее решение однородного уравнения имеет вид
(19)
Здесь 
- постоянные интегрирования.
2) n>k – корни характеристического уравнения действительные и различные
и общее решение однородного уравнения имеет вид
3) n=k - корни характеристического уравнения кратные: 
и общее решение однородного уравнения имеет вид
В рассматриваемом случае 
, 
. Поскольку n<k, то общее решение однородного уравнения (16) имеет вид:
или 
(20)
Здесь 
, а коэффициенты 
связаны между собой соотношениями:
Определим частное решение неоднородного дифференциального уравнения (11). Данное решение ищем в виде правой части
|
|
(21)
где коэффициенты 
связаны между собой соотношениями
Подставляя (21) в уравнение (11), после несложных преобразований получим
Приравнивая коэффициенты при функциях sin(pt) и cos(pt) в правой и левой частях последнего равенства, получаем систему алгебраических уравнений для определения постоянных 
:
Решая данную систему, найдем выражения для коэффициентов:
Таким образом, решение (21) найдено. Складывая (20) и (21), получаем общее решение неоднородного уравнения (11):
(22)
Константы 
и 
определяются из начальных условий (12). Для этого найдем производную по времени от перемещения груза
(23)
Подчинив (22) и (23) начальным условиям, получим систему уравнений
относительно искомых констант
Решая систему, получим:
(24)
Таким образом, закон движения имеет вид:
Из последней формулы следует, что движение системы представляет собой наложение двух движений:
1) собственного движения (первое слагаемое справа), которое представляет собой затухающие колебания частоты 
, так как множитель 
при 
;
2) вынужденных колебаний постоянной амплитуды 
(второе слагаемое справа), происходящих с частотой возмущающей силы 
, причем фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на величину 
Поскольку по истечении некоторого промежутка времени собственное движение затухает, то определяющим движением системы являются вынужденные колебания.
Результаты расчетов
|
|
Ниже приведен пример документа Mathcad, в котором реализована процедура вычисления закона движения груза, его скорости и ускорения, а также динамических реакций внешних и внутренних связей.
Результаты расчетов:
