Презентация 1 группы учащихся
1. у = arcsin x
Функция у = sin х монотонна и принимает все значения от -1 до 1 на каждом из следующих отрезков 
- 
; 
; ; 
; 
; 
и т.д. Значит, по теореме об обратных функциях она обратима, и имеет обратную функцию. Среди них предпочтение отдают одной функции, обратной у = sin x, х 
- ; . Её обозначают х = arcsin у. Поменяв, как обычно, х и у местами, пишут: у = arcsin x.
Итак, у = arcsin x (читают арксинус х) – это функция, обратная функции у = sin x,
х - ; . График функции у = arcsin x может быть получен из графика функции
у = sin x, х - ; с помощью преобразования симметрии относительно прямой
у = х.
Свойства функции у = arcsin x
1. D(х) = [-1;1].
2. Е(х) = - ; .
3. Функция является нечетной: arcsin (- x) = - arcsin x
4. Функция возрастает.
5. Функция непрерывна.
Из сказанного выше следует, что записи у = arcsin x и х = sin у, у 
- ; эквивалентны. Подставив в равенство х = sin у вместо у выражение arcsin x, получим х = sin (arcsin x). Следовательно, для х [-1;1] имеем: sin (arcsin x) = х,
arcsin x -;.
Два последних соотношения дают возможность сформулировать определение.
Определение 1. Если ≤1, то arcsin а – это такое число из отрезка -;, синус которого равен а.
Итак,
sin t = а,
если ≤1, то arcsin а = t <=> -≤ t ≤;
sin (arcsin а) = а.
Геометрическая иллюстрация:
Следовательно, arcsin(-х) = arcsin х, ≤ 1.
Аналогично вводятся понятия арккосинуса, арктангенса и арккотангенса(см. § 21, А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева и др. «Алгебра и начала анализа». Профильный уровень. Часть 1. 10 класс. М., «Мнемозина», 2007г.
2. Построение графиков функций, содержащих обратные тригонометрические функции.
А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева и др. «Алгебра и начала анализа». Профильный уровень. Часть 2. 10 класс. М., «Мнемозина», 2007г.
|
|
№21.50, №21.51, №21.52, №21.53
(см. Приложение №1).
Урок 2.
Тема: Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Цель: сформировать умение преобразовывать выражения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Презентация 2 группы учащихся.
Вспомним важные соотношения для обратных тригонометрических функций, которые мы уже доказали:
1) arcsin(-х) = -sin x, если -≤ arcsin х ≤;
2) arcos (-х)=- arcos x, если 0 ≤ arcos x ≤;
3) arctg(-х)=- arctg x, если - < arctg x<;
4) arcctg (-х)= - arcctg x, если 0< arcctg x <.
Докажем важные соотношения для обратных тригонометрических функций:
1) sin (arcsin х)=х, где≤ 1.
2) cos (arcsin х)=, где≤ 1.
3) tg (arcsin х)=, где < 1.
4) ctg (arcsin х)=, где ≤ 1,, х ≠0.
5) cos (arcos x)=х, где ≤ 1.
6) sin (arcos x)=, где ≤ 1.
7) tg (arсcos x)=, где ≤ 1, х ≠0.
8) ctg (arсcos x)=, где< 1.
9) tg (arctg x)=х.
10) sin (arctg x)=.
11) cos (arctg x) =.
12) ctg (arctg x)=, где х ≠0.
13) ctg (arcctg x)=х.
14) sin (arcctg x)=.
15) cos (arcсtg x)=.
16) tg (arcctg x)=, где х ≠0.
17) arcsin х+arcos x=, где ≤ 1.
18) arctg x+arcctg x=.
(см. Приложение 2)
Выполнить упражнения:
№1. Вычислить:
а) sin (arctg 2)= = = =;
б) cos (arсtg2)==;
в) sin (arссоs(-))= = ==;
г) cos (arcsin (-))===.
№2. Упростить выражение arcsin (sin 2).
Решение: Положим φ = arcsin (sin 2), тогда φ -; и sin φ = sin2. Нам надо найти угол из промежутка-;, имеющий тот же синус, что и угол в 2 радиана. Имеем 2= (- 2), причем sin2=sin(-2) и -2 -;, следовательно, φ = -2. Таким образом,
arcsin (sin 2)= -2.
Ответ: -2.
№3 Упростить выражения:
а) arссоs(cos4); б) arctg(tg5); в) arcsin(cos2); г) arctg(ctg7).
Решение:
а) Пусть arссоs(cos4)=φ, где φ [0;], тогда cos φ = cos4. Нам надо найти угол из отрезка
[0;], косинус которого равен косинусу угла в 4 радиана. Имеем cos φ = cos4. Следовательно,
|
|
φ = 2- 4.
Ответ: 2- 4.
б) Пусть arctg(tg5)= φ, где φ (-;), тогда tg φ = tg5, следовательно, φ = - (2- 5)=5 - 2.
Ответ: 5 - 2.
Урок 3.
Тема: Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.
Цель: Сформировать умение решать графически и аналитически уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.