Рассмотрим частные случаи нахождения точки МЦС.
1. Если плоское движение осуществляется путем качения цилиндрического тела по поверхности другого тела без скольжения, причем второе тело неподвижно, то точка касания Р имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, следовательно, является МЦС (рис. 6.13, а), тело мгновенно вращается относительно точки касания Р.
Иначе говоря, Если на перпендикуляре к вектору скорости есть точка, скорость в которой равна нулю, то эта точка будет точкой МЦС.
Рис. 6.13
2. Если в двух точках А и В твердого тела 
, при этом прямая АВ, соединяющая эти точки, не перпендикулярна векторам 
и 
(рис. 6.13, б), то перпендикуляры к и к пересекутся в в бесконечности, т.е. точка МЦС 
, тогда 
Из общей теоремы кинематики имеем, что 
(
), тогда 
. Следовательно, скорости всех точек тела в данный момент равны между собой по модулю и по направлению, твердое тело движется мгновенно поступательно. Примгновенно поступательном движении угловая скорость тела равна нулю, угловое ускорение не всегда равно нулю.
3. Если в двух точках А и В твердого тела , при этом прямая АВ, соединяющая эти точки, перпендикулярна векторам и и 
, 
(рис. 6.13, в, г) то положение точки МЦС определяется построениями, показанными на рис. 6.13 в, г, тело имеет мгновенно-вращательное движение вокруг точки МЦС ( точка Р). При этом модули скоростей точек тела связаны соотношением
.
Механизмы
 Рис. 6.14
| Маятник Максвелла.Маятник Максвелла состоит из диска радиусом  , на который намотана нерастяжимая нить, конец которой закреплен в точке А (рис. 6.14). Вычислим скорости на ободе диска, если известна скорость его центра  .
Свяжем декартову систему координат  с центром диска. Скорость центра диска  параллельна оси  . Ось  проходит через точку  . Нить  неподвижна, следовательно  .
|
Следовательно, точка Р является точкой МЦС. Модули скоростей точек диска связаны соотношением
.
Кривошипно – шатунный механизм. Кривошипно – шатунный механизм состоит из кривошипа ОА, шатуна АВ и ползуна В (рис. 6.15).
 Рис. 6.15
| Кривошип ОА длиной  вращается в плоскости относительно неподвижной точки  с угловой скоростью  и угловым ускорением  .
Совместим декартову систему координат с точкой О. Вычислим скорость ползуна  .
Имеем:
|
(м/с).
Вектор скорости направлен перпендикулярно ОА в сторону вращения кривошипа (рис. 6.15). Ползун В движется поступательно вдоль дорожек, следовательно скорость ползуна 
направлена по оси 
. Скорости в точках А и В шатуна АВ не параллельны, следовательно шатун совершает плоскопараллельное движение. Восстановим перпендикуляры к векторам 
и . Точка МЦС (точка Р) лежит на их пересечении
(рис. 6.15). Все точки шатуна мгновенно движутся по окружностям соответствующих радиусов с центром вращения в точке МЦС (точка А – по радиусу , точка В – по радиусу 
, при этом угловая скорость вращения шатуна и модули скоростей точек шатуна связаны соотношением:
Скорость ползуна (скорость в точке В):
.
Рассмотрим частные случаи.
1. Движение шатуна в момент времени, когда угол 
(рис. 6.16, а).
Вектор скорости кривошипа в точке А ( 
) направлен по оси 
. Восстановим перпендикуляры к векторам и . Точка МЦС (точка Р) лежит на их пересечении и совпадает с точкой В. Следовательно, точка В является в этом положении механизма точкой МЦС, тогда 
. В этом положении шатун АВ совершает мгновенное вращение вокруг мгновенно неподвижной точки В с угловой скоростью 
:
.
Распределение скоростей точек шатуна показано на рис. 6.16, а.
2. Движение шатуна в момент времени, когда угол 
(рис. 6.16, б).
| а | 
| б | 
|
| Рис. 6.16 |
Вектор скорости кривошипа в точке А ( ) направлен по оси 
. Скорости 
и направлены параллельно друг другу, перпендикуляры к и пересекутся в бесконечности, т.е. точка МЦС , тогда 
Следовательно, в этом положении шатун совершает мгновенно-поступательное движение, и все точки шатуна АВ имеют одинаковую скорость, равную 
.
 Рис. 6.17
| Планетарный механизм.Планетарный механизм состоит из неподвижного диска 1 радиусом  , кривошипа ОА и подвижного диска, радиусом , закрепленного а точке кривошипа  (рис.6.17).
|
Кривошип ОА вращается с угловой скоростью и приводит в движение подвижный диск 2. Вычислим скорость в точках 
, лежащие на ободе подвижного диска.
Имеем (рис. 6.18):
.
Свяжем декартову систему координат 
с центром неподвижного диска. Скорость в точке А кривошипа параллельна оси 
. Точка соприкосновения неподвижного и подвижного дисков будет точкой МЦС 
точка Р (рис. 6.18).
Рис. 6.18
Запишем уравнения связи. Точка А имеет два радиуса вращения – 
и , поэтому
.
При этом модули скоростей точек, лежащих на ободе подвижного диска связаны соотношением
.
Подвижный диск движется плоскопараллельно.
§ 6.6. Ускорение при плоском движении твердого тела [1]
Рис. 6.19
|
Ускорение какой-либо точки тела при его плоскопараллельном движении равно векторной сумме ускорения полюса 
и ускорения этой точки при вращательном движении тела вокруг полюса (рис. 6.19):
(6.5)
Здесь:
– нормальное ускорение точки М во вращении вокруг полюса 
;
– касательное ускорение точки М во вращении вокруг полюса А.
Рис. 6.20 
| Модуль и направление ускорения точки М –  , можно найти геометрически построением в выбранном масштабе многоугольника из векторов ускорений  ,  ,  , для точки М (рис. 6.20).
|
Пример 6.2. Колесо радиусом R катится без скольжения по линейному рельсу. Центр 
колеса движется согласно уравнению 
. Вычислить в момент времени 
ускорения точек Р, М, К, N расположенных на ободе колеса, как показано на рис. 6.21.
Решение. За полюс выберем точку 
.Уравнения вращения колеса вокруг полюса имеет вид
Рис. 6.21 
.
Вычислим угловую скорость 
, угловое ускорение 
и ускорение полюса. Имеем
Направление и показано дуговыми стрелками (рис. 6. 22).
Ускорение точки М вычислим по формуле
.
Приводим к точке М ускорение полюса 
, рис. 6.22, а. Для нормального и касательного ускорений точки М от вращения колеса вокруг полюса О имеем, рис.6.22, б:
Ускорение 
направлено от точки М к полюсу О. Ускорение 
перпендикулярно отрезку ОМ и направлено в сторону дуговой стрелки e.
Рис. 6.22
Модуль ускорения в точке М:
Направление вектора показано на (рис. 6.23, а.).
Рис. 6.23
Для точки 
имеем (рис. 6.23, б):
.
Направление вектора 
показано на рис. 6.23, б
Для точки N имеем
.
Направление вектора 
показано на рис. 6.24, а.
Для точки Р имеем:
.
Направление вектора 
показано на рис.6.24, б.
Рис. 6.24