При плоском движении
При вычислении ускорения точек тела при его плоском движении, необходимо знать, согласно (6.5), ускорение полюса, угловую скорость w и угловое ускорение e. Ускорение полюса должно быть известно по определению. Угловую скорость обычно вычисляют, используя общую теорему кинематики или свойства мгновенного центра скоростей. Сложность заключается в вычислении углового ускорения 
.
Рассмотрим примеры вычисления углового ускорения.
1. Заданы уравнения плоского движения тела
Тогда угловое ускорение
.
Пример вычисления ускорений точек твердого тела, когда заданы уравнения плоского движения, рассмотрен в примере 6.2. на стр. 134.
2. Вычисление углового ускорения, если направление ускорения в исследуемой точке известно
Рассмотрим кривошипно-шатунный механизм, рис. 6.25.
Кривошип вращается с угловой скоростью 
и угловым ускорением 
ускоренно. Рассмотрим, как вычисляется уг 
ловая скорость и угловое ускорение шатуна АВ.
1). На шатуне АВ
Рис. 6.25 нужно выбрать полюс, т.е. точку, скорость и ускорение которой известно. Точка А одновременно принадлежит и шатуну АВ и кривошипу 
. Точка А по отношению к точке О перемещается по окружности радиусом ОА. Совместим оси естественного трехгранника 
с тоской А, рис. 6.26. Вычислим скорость и ускорение точки А кривошипа 
:
(м/с), 
, 
, 
Вектор скорости 
и вектор 
направлены по оси 
, вектор 
направлен по оси 
(рис. 6.26).
Свяжем декартову систему координат 
с ползуном В, рис. 6.26. Ползун В движется поступательно вдоль дорожек.
Рис. 6.26
Вектор скорости ползуна 
направлен по оси 
. Скорости в точках А и В шатуна АВ не параллельны, следовательно шатун совершает плоскопараллельное движение. Восстановим перпендикуляры к векторам 
и . Точка МЦС (точка Р) лежит на их пересечении. Все точки шатуна мгновенно движутся по окружностям соответствующих радиусов с центром в точке МЦС (точка А – по радиусу 
, точка В – по радиусу 
, при этом угловая скорость вращения шатуна и модули скоростей точек шатуна связаны соотношением:
|
|
Скорость ползуна (скорость в точке В):
.
Вектор скорости ползуна 
направлен вдоль дорожек в сторону вращения шатуна (рис. 6.26).
2). Вычислим угловое ускорение 
шатуна АВ. Свяжем с точкой 
оси естественного трехгранника 
, рис. 6.27. Оси соответственно совпали с осями .
Рис.6.27
Ускорение точки В:
, (а)
здесь:
– ускорение полюса А;
– касательное ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А;
– нормальное ускорение точки В при ее вращении вокруг полюса А.
Ползун В движется прямолинейно по оси 
, следовательно вектор ускорения 
направлен вдоль этой оси, см. рис. 6.28. Тогда, проекция векторного уравнения (а) на ось 
будет равна нулю:
откуда
 Рис. 6.28
|  .
Угловое ускорение ползуна можно вычислить геометрически. Для этого построим векторный многоугольник из векторов  . Строим на плоскости оси . Из точки В (в выбранном масштабе) откладываем вектор ускорение  (рис. 6.28).
|
Из конца этого вектора в том же масштабе, параллельно оси 
, откладываем нормальную составляющую ускорения 
, и из его конца проводим пунктирную прямую I-I, перпендикулярную (неизвестное ускорение 
лежит на этой прямой) до пересечения с оью 
. Замыкающая векторного многоугольника соответствует вектору .
3. Вычисление углового ускорения, если направление ускорения в исследуемой точке неизвестно.
|
|
Аналитически эти вычисления делают следующим образом.
Рассмотрим механизм ОАВС. Вычислим угловое ускорение звена 
и звена 
, если угловая скорость ведущего звена ОА постоянна и равна 
(рис. 6.29, а). Пусть кривошип 
см вращается равномерно относительно центра О с угловой скоростью 
; длины звеньев 
см, 
см.
Вычислим угловые скорости звеньев 
- 
и 
- 
.Для этого вычислим скорость точка А кривошипа ОА:
Направлен вектор скорости перпендикулярно 
.
Точка В принадлежит кривошипу ВС, следовательно вектор скорости будет направлен перпендикулярно ВС.
| а |
| б | 
|
| Рис. 6.29 |
Скорости в точках А и В шатуна АВ не параллельны, следовательно шатун совершает плоскопараллельное движение. Восстановим перпендикуляры к векторам 
и 
. Точка МЦС (точка Р) лежит на их пересечении. Все точки шатуна мгновенно движутся по окружностям соответствующих радиусов с центром в точке МЦС (точка А – по радиусу 
, точка В – по радиусу 
), при этом угловая скорость вращения шатуна и модули скоростей точек шатуна связаны соотношением:
Из 
вычисляем: 
см; 
см.
Тогда
(с-1);
(с-1).
Аналитический способ вычисление углового ускорения
Применим теорему об ускорениях при плоском движении тела к точке В. За полюс выбираем точку А, ускорение в этой точке известно, рис. 6.31:
(см/с2);
| тогда | 
| (а) |
здесь 
(см/с2); 
В полученном векторном уравнении (а) три неизвестных: модуль и направление ускорения в точке В - 
и угловое ускорение шатуна АВ - 
(
).
Для решения задачи необходимо записать еще одно уравнение.
|
|
За второй полюс выберем точку 
, 
, тогда (рис. 6.30):
(б)
Здесь
(см/с2); 
В полученном векторном равенстве (б) тоже три неизвестных: модуль и направление ускорения в точке В - и угловое ускорение кривошипа 
- 
. (
).
Получили систему уравнений, которая содержит шесть неизвестных:
(в)
Рис. 6.30 Исключим вектор 
из (в), тем самым
исключим две неизвестные из (в). Для этого приравняем правые части уравнений (в) между собой, получим векторное уравнение, которое будет содержать только две неизвестные величины: 
и 
:
. (г)
 Рис. 6.31
| Совместим с точкой В начало декартовой системы координат  (рис. 6.31). Приведем к точке В векторы (г) и спроецируем их на оси  , рис. 6.32:
  (1)
|
Получили систему двух скалярных уравнений с двумя неизвестными: 
и 
. Решая о систему уравнений (1), получим:
Знак (-) модуля 
показывает, что истинное направление этого вектора противоположно выбранному на схеме (рис. 6.31).
Графический (геометрический) способ
Ускорение шарнира В получим построением многоугольника ускорений (рис. 6.32). Рассмотрим векторное равенство (г):
,
здесь
(см/с2), 
(см/с2), 
(см/с2).
Рис. 6.32
| В выбранном масштабе откладываем из точки В, параллельно ОА, ускорение  . Из конца этого вектора в том же масштабе, параллельно оси звена АВ, откладываем нормальную составляющую ускорения , и из его конца проводим
|
пунктирную прямую I-I, перпендикулярную (ускорение лежит на этой прямой).Затем из точки В, в том же масштабе, откладываем нормальную составляющую ускорения 
- вдоль звена ВС, из конца этого вектора проводим перпендикулярную ему пунктирную прямую II-II (, ускорение 
лежит на этой прямой), см. рис. 6.32.
Обозначим точку пересечения прямых I-I и II-II буквой D. Соединим точку В и точку D, полученная прямая 
соответствует ускорению точки В - 
; прямая 
соответствует ускорению 
; прямая 
соответствует ускорению 
. Замеряем длину отрезков, с учетом принятого масштаба, получаем:
(см/с2); 
(см/с2);
Результаты получены двумя разными способами, хорошо согласуются друг с другом.
[1] Для самостоятельного изучения