Доверительный интервал для оценки дисперсии нормального распределения

Для построения доверительного интервала для дисперсии используют распределение .Вид этого закона распределения очень сложен, поэтому значения распределения представлены в таблице. Они зависят от числа степеней свободы и от доверительной вероятности.

Доверительный интервал для дисперсии имеет вид

(5.10.4)

Пример 1. Построить доверительные интервалы для математического ожидания и дисперсии, рассматривая 16 измерений случайной величины, распределенной по нормальному закону, если получены оценки математического ожидания и дисперсии:

S ² = 0,91.

Решение. Найдем значение распределения Стьюдента по таблицам приложения 4 для числа степеней свободы k = n – 1 = 16 – 1и доверительной вероятности β = 0,95 (уровня значимости α = 0,05):

Тогда

Доверительный интервал для математического ожидания принимает вид

12,51− 0,508 < M (X) < 12,51 + 0,508,

12,002 < M (X) < 13,018.

По таблицам приложения 5 (Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.) найдем значения распределения :

Доверительный интервал для дисперсии:

0,496 < D (X)< 2,181.

Задачи для самостоятельной работы

1. В четырех независимых испытаниях случайная величина приняла следующие значения: 3, 4, 7, 10. Найдите несмещенную оценку дисперсии

2. В 18 независимых испытаниях случайная величина X значениe3 приняла 7 раз, а значение 5 –11 раз. Найдите несмещенную оценку дисперсии

3. Даны результаты 8 независимых измерений одной и той же величин прибором, не имеющим систематических ошибок: 365, 379, 315, 425, 386, 403, 374, 381 м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина 373 м.

4. Даны результаты 8 независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 369, 376, 318, 422, 388, 401, 372, 383 м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина неизвестна.

5. Для заданий а) – ж) найти оценки числовых характеристик.

а)

xi

б)

xi	–8	–2

в)

xi

г)

xi

д)

xi	–1

е)

Границы интервалов	[61;65)	[65;69)	[69;73)	[73;77)	[77;81)

ж)

Границы интервалов	[0;0,02)	[0,02;0,04)	[0,04;0,06)	[0,06;0,08)

6. По данным распределения студентов по результатам сдачи экзаменов определить: средний бал успеваемости студентов по каждому предмету и по всем предметам; дисперсии балла успеваемости по предмету и в целом по всем предметам.

Распределение студентов группы по результатам сдачи экзаменов

7. Найдите 0,94‑доверительный интервал для генерального среднего нормально распределенного признака , если генеральное среднеквадратичное отклонение равно 8, а выборочное среднее при объеме выборки 99 равно 33.

8. Выборка из большой партии электроламп содержит 120 ламп. Средняя продолжительность горения отобранных ламп оказалась равной 1200 ч. Найдите приближенный 0,95 – доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы во всей партии, если известно, что среднеквадратичное отклонение продолжительности горения лампы в партии равно ч.