Будем рассматривать детерминированные сигналы. Эти сигналы принято делить на периодические и непериодические. Сигнал является периодическим, если он удовлетворяет условию: на интервале - , где Т—период, К—целое число. Непериодический сигнал не удовлетворяет указанному условию на всей оси времени. Он задается на конечном интервале , а за пределами это интервала принимается равным нулю. В теории сигналов широко применяется спектральное представления сигналов.
Спектральным представлением детерминированного сигнала S(t) называется его представление в виде суммы конечного и бесконечного числа гармонических составляющих. Основой спектрального представления сигналов является преобразование Фурье. Рассмотрим сначала спектральное представление управляющих или видеосигналов.
Ряд Фурье. Амплитудные и фазовые спектральные диаграммы
Любой сложный периодический сигнал может быть представлен в виде суммы элементарных гармонических сигналов.
Пусть функция S(t) периодически повторяется с частотой и для нее выполняются условия Дирихле:
1) в любом конечном интервале функция S(t) должна быть непрерывной или иметь конечное число разрывов первого рода, т.е. при стремление t к точкам разрыва функции S(t) должна иметь конечные пределы;
2) в пределах одного периода функция должна иметь конечное число максимумов и минимумов.
Такая периодическая функция S(t) может быть представлена в виде ряда Фурье:
(1.1)
где -среднее значение сигнала или постоянная составляющая;
;
— основная частота или частота первой гармоники;
— частоты высших гармоник.
Ряд Фурье можно записать по-другому:
(1.2)
где — амплитуда и начальная фаза n-ой гармоники.
Обратные зависимости для коэффициентов и имеют вид:
.
Совокупность гармонических составляющих, на которые раскладывается функция S(t), называется спектром. Причем совокупность коэффициентов называется спектром амплитуд, а совокупность значений называется спектром фаз.
Наглядное представление о спектре дают спектральные диаграммы: амплитудные (рисунок 1.4 а) и фазовые (рисунок 1.4 б). При их построении по оси абсцисс откладывают частоты гармоник, а по оси ординат –– значения амплитуд или фаз каждой гармоники.
Спектр периодической функции называется линейчатым или дискретным, так как состоит из отдельных линий, соответствующих частотам: .
а б
Рисунок 1.4
Ряд Фурье можно записать и в комплексной форме. Для этого воспользуемся формулами Эйлера:
.
Примем, что . Подставляем эти соотношения в выражение (1.2), получим ряд Фурье в комплексной форме:
. (1.3)
В этом выражении — комплексная амплитуда n-ой гармоники, которая связана с коэффициентами ряда Фурье соотношениями:
.
Подставляя значение в (3), получим:
. (1.4)
Комплексную амплитуду можно получить непосредственно из функции S(t), минуя вычисление коэффициентов и .
). (1.5)
Это выражение позволяет найти амплитудный спектр, то есть совокупность гармонических составляющих, в сумме образующих S(t).