Классическая постановка транспортной задачи

Пусть имеется m – поставщиков (источников), и n – потребителей. Каждый поставщик имеет мощность поставок a_i, i = 1,m. Каждый потребитель – b_j, j =1,n. Также известна стоимость перевозки ресурса i – ого поставщика j – ому потребителю - С_ij.

Тогда обозначив X_ij – объём перевозки i – того поставщика j - тому потребителю, получим формализованную постановку транспортной задачи в следующем виде:

Транспортная задача является задачей линейного программирования и легко решается с помощью численных методов. Однако для задач небольшой размерности могут быть использованы простейшие мануальные методы решения.

К таким методам относятся:

· метод поиска допустимого решения: «Северо-Западного угла»;

· метод последовательного поиска назначения оптимальной перевозки: «Кольцевых маршрутов»;

· метод быстрого поиска назначения оптимальной перевозки: «Модифицированный метод кольцевых маршрутов».

Задача. Пусть есть 3 склада готовой продукции, обозначим их a, b, с каждый из них располагает различными мощностями по хранению запаса: 5 000; 10 000 и 20 000 единиц товара соответственно. В области есть 2 магазина, торгующих товаром, обозначим их А и B, потребность каждого из них за период составляет 10 000 и 20 000 единиц товара соответственно. Известна стоимость перевозки одной тысячи единиц товара между складом и магазинами см. табл. 36.

Табл. 36 Матрица стоимостей перевозки 1 000 единиц товара, сто у.д.е.

Требуется найти оптимальный план перевозок между складами и магазинами.

Решение. Составим транспортную матрицу задачи см. табл. 37.

Табл. 37 Матрица транспортной задачи

Поскольку суммарная мощность складов превосходит суммарную потребность магазинов задача является не замкнутой, что не допускает ее решения предлагаемыми методами. Замкнем задачу, введя фиктивного потребителя на превышающую мощность. Получим новую матрицу транспортной задачи см.табл. 38.

Табл. 38 Матрица замкнутой транспортной задачи

Найдем допустимое решение задачи методом «Северо-Западного угла», результат решения приведен в табл. 39.

Табл. 39 Матрица решения замкнутой транспортной задачи методом «С-З угла»

Найденное решение является невырожденным.

Рассчитаем величину суммарных транспортных затрат при найденном назначении перевозок:

Проверим возможно ли улучшение найденного решения в сторону сокращения затрат методом кольцевых маршрутов.

Протестируем неиспользованные маршруты на возможность улучшения решения, назначив перевозки по ним:

Исследуем клетку B-a, построение кольцевого маршрута приведено на рис. 20 сплошной линией. Найдем индекс этого маршрута: , положительность индекса указывает на то, что улучшить решение, назначив перевозку в исследуемую клетку невозможно.

Рис. 20 Кольцевые маршруты нулевых клеток

Исследуем клетку A-c, построение кольцевого маршрута приведено на рис. 20 пунктирной линией. Найдем индекс этого маршрута: , отрицательность индекса указывает на то, что можно улучшить найденное ранее решение, назначив перевозку в исследуемую клетку. Результат переназначения перевозок приведен в табл. 40.

Табл. 40 Матрица улучшенного решения замкнутой транспортной задачи

.

Легко проверить, что больше улучшить назначение перевозок невозможно.

Подтвердим указанное выше, найдя оптимальное решение модифицированным методом.

Составим систему уравнений для значимостей строк и столбцов:

,

Разрешая систему последовательно для всех значимостей строк и столбцов получим:

.

Вычислим индексы нулевых не фиктивных клеток матрицы допустимого решения методом «С-З угла»:

,

значения индексов показывают, что улучшение решения возможно только назначением перевозки по маршруту A – c, следовательно, оптимальное решение транспортной задачи приведенов табл. 40.

Задача 18. Найдите оптимальный план перевозок между складами и потребителями, транспортная матрица приведена в табл. 41. Решение начать методом «С-З угла», продолжить методом кольцевых маршрутов, подтвердить найденное решение модифицированным методом.

Табл. 41 Параметры перевозок, потребностей и складских мощностей

Задача 19. Найдите оптимальный план перевозок между складами и потребителями, транспортная матрица приведена в табл. 42. Решение начать методом «С-З угла», продолжить методом кольцевых маршрутов, подтвердить найденное решение модифицированным методом.

Табл. 42 Параметры перевозок, потребностей и складских мощностей

Список использованных источников

1) Логистика: Учеб. пособие / Под. Ред. Б.А. Аникина. – М.: ИНФРА-М, 1999

2) Основы логистикаи: Учеб. пособие / Под ред. Л.Б. Миротина и В.И. Сергеева.- М.: ИНФРА-М, 2002

3) Гаджинский А.М. Практикум по логистике. – 3-е изд. перераб. и доп. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и Ко», 2003

4) Практикум по логитсике Учеб. пособие. – 2-е изд., перераб. и доп. / Под ред. Б.А. Аникина. – М.: ИНФРА-М, 2001

5) Костина Г.П. Коммерческая логистика: Учеб. пособие / Г.П. Костина – 2-я ред. – М.: Доброе слово, 2007

6) Костина Г.П. Коммерческая логистика: авторский курс лекций и практических занятий

[1] Учитывается 1 раз за этап.

[2] Логистические издержки в базу расчета прибыли не включаются, если не указано иное..

[3] Расчеты будут существенно упрощены, если кривую строить для условных позиций ассортимента, закупочная стоимость 1 м³ которых составляет равные значения, например, 5 000 руб., 10 000 руб. и т.д.

[4] Обоснование вывода очевидно: если конец перпендикуляра оказывается под кривой, то, следовательно, дополнительные затраты на доставку 1 м³ из города N в Москву превысят разницу в закупочных ценах, т.е. везти такой товар в Москву из города N убыточно. И наоборот, если разница в ценах больше затрат, связанных с доставкой из города N – экономически предпочтительней.

Следует отметить, что точность метода зависит от того, насколько полно удалось отразить в расчетах все затраты, возникающие при закупке у территориально удаленного поставщика.