Пусть Р = (Р, +, ·, -, 0, 1)-поле скаляров. 
, 
Тогда, 
-матрица, транспонированная к А.
Теорема 1. Для любых матриц А, В, если существует А · В, то 
.
Доказательство. 
- 
матрица
- матрица
, 
- элемент, расположенный в j -ой строке, i -ом столбце матрицы АВ, значит 
.
- элемент, расположенный в j -ой строке, i -ом столбце матрицы 
, значит 
. ■
Упражнения.
1) Найти сумму матриц:
2) Найти матрицу 2А+5В, если 
, 
, 
, 2А+5В 
3) Найти произведения матриц АВ и ВА, если
, 
Решение. АВ= 
ВА= 
4) Найти 
если А= 
Решение. 
5) Найти значение матричного многочлена 
, Е- единичная матрица третьего порядка.
Решение. 
, 
, 
Задачник.
1.Вычислить 
, где 
.
Решение.
.
2. Вычислите 
, где
; 
.
Решение. Так как число столбцов матрицы 
равно числу строк матрицы 
, то произведение существует (но 
в этом случае не существует).
1 способ. По определению произведения матриц:
.
2 способ. Известно, что 
-й столбец матрицы есть произведение матрицы на 
-й столбец матрицы 
. Поэтому столбцы вычисляем поочередно. Обозначим через 
-ю строку матрицы 
, а через 
- -й столбец матрицы 
. Тогда 
. Подробная запись такая:
;
.
Тогда
.
3 способ. Поскольку -я строка матрицы есть произведение -й строки матрицы на матрицу , строки произведения вычисляем поочередно:
;
;
.
Тогда
.
3. Вычислить и , если они существуют:
а) 
, 
;
б) 
, 
;
в) , .
Решение.
a) 
,
;
б) 
,
;
в) 
, не существует.
4.Вычислите 
, 
, , 
, если:
1) 
, 
;
2) 
, 
.
5.Вычислите произведения матриц:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
;
10) 
; 
11) 
;
12) 
;
13) 
;
14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
;
19) 
;
|
|
20) 
.
6. Вычислите:
1) 
;
2) 
.
7. Вычислите 
и 
:
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) , 
;
4) , 
;
5) 
, 
;
6) , 
;
7) 
, 
;
8) 
, 
.
8. Возведите в степень:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
9. Вычислить обратную матрицу:
.
Решение.
.
10. Вычислить обратные матрицы:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
;
16) 
;
17) 
;
18) 
.
11. Решить матричные уравнения вида AX = B:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
;
10) 
.
Решение.
5) 
;
Вычислим 
:
,
Тогда 
:
.
12. Решить матричные уравнения вида 
:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
.
Решение.
5) 
,
,
. 
13.. Решить матричные уравнения вида 
:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.
Решение.
.
1) 
,
,
,
.
2) 
,
,
,
.
14. Решите матричные уравнения:
а) 
; б) 
; в) 
1) 
, 
, 
;
2) 
, 
, 
;
3) 
, 
, 
;
4) 
, 
, 
;
5) 
, 
, 
.
15. Вычислите 
, если:
1) 
, 
;
2) 
, 
;
3) 
, 
.
16. Вычислить 
, где 
– единичная матрица:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
.
17. Привести к диагональной форме путем элементарных преобразований:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
; 7) 
;
8) 
.
18. Системы уравнений записать в матричном виде и решить их «методом обратной матрицы»:
1) 
2) 
3) 
19. Вычислить определители матриц:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
.
Решение.
1) 
.
3) 
.
20. Найти определитель разложением по строке:
|
|
.
Решение.
Разложим по элементам первой строки:
.
21. Вычислить определители правилом «звездочка»:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
; 7) 
;
8) 
; 9) 
;
10) 
.
Решение.
6) 
.
7) 
.
22. Вычислить определители, пользуясь только определением:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
;
6) 
;
7) 
;
8) 
;
9) 
; 10) 
.
23. Дан определитель
Разложите: а) по первому столбцу (строке);
б) по последнему столбцу (строке).
24. Разложите следующие определители:
1) 
по элементам 4-го столбца;
2) 
по элементам 1-го столбца;
3) 
по элементам 3-й строки.
25. Вычислить определители:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
;
17) 
; 18) 
.
26. Вычислить определители:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
; 11) 
;
12) 
; 13) 
.
Решение.
1) 
.
27. Вычислить определитель
.
Решение.
1 способ.
Применяя свойства определителей, получим нули в первой строке. Для этого нужно вычесть из второго столбца удвоенный первый, из третьего столбца утроенный первый и т.д.
.
Разложим по первой строке
.
Аналогично преобразуем четвертую строку:
.
Определитель равен нулю, так как имеет два пропорциональных столбца.
2 способ.
Вычтем из пятого столбца четвертый, затем из четвертого третий и т. д.:
.
Четвертый и третий столбцы пропорциональны, т.е. 
.
28. Вычислить определитель
.
Решение.
Вычитаем второй столбец из четвертого и первый из третьего, затем удвоенный первый из второго. Полученный определитель разложим по первой строке:
|
|
.
Из третьего столбца полученного определителя вычитаем второй:
.
Разлагаем этот определитель по последнему столбцу:
.
29. Найти решения уравнений:
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
.
Решение.
2) Вычисляя определитель по правилу «звездочка», получим:
или 
.
Тогда
если 
, то 
;
если 
, то 
- любое.
30. Найти обратную матрицу 
, используя формулу: 
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
;
9) 
; 10) 
;
11) 
12) 
;
13) 
; 14) 
;
15) 
; 16) 
.
Решение.
10) Вычислим определитель матрицы:
,
Найдем присоединенную матрицу по формуле:
, где 
- алгебраическое дополнение элемента 
.
.
Тогда
.
15) Найдем определитель матрицы:
;
Вычислим алгебраические дополнения:
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
;
Тогда
.
Следовательно
.
16) Найдем определитель матрицы:
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
; 
;
;
.
31. Вычислить определители 
-го порядка:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
Решение.
1 способ:
1. Приведем определитель к треугольному виду. Тогда он будет равен произведению диагональных элементов. Выполняем преобразования:
а) к первой строке прибавили все строки и результат записали в первой строке;
б) из первой строки определителя вынесли множитель 
;
в) вычли первую строку из всех остальных;
получим
.
2 способ:
Обозначим определитель через 
. Выразим 
через 
.
Первую строку представим как сумму двух строк 
. В соответствии с этим разложим 
на сумму двух определителей:
.
Первое слагаемое приведем к треугольному виду, вычтя первый столбец из всех остальных. Второе слагаемое после понижения порядка равно 
:
.
Получено рекуррентное соотношение 
, т.е. 
является членом арифметической прогрессии с разностью 
. Для вычисления некоторого члена этой прогрессии рассмотрим 
.
Итак, 
. Поэтому 
тогда 
.
32. Вычислите коэффициент при 
в разложении определителя:
1) 
;
2) 
.
33. Вычислить определители приведением к треугольному виду (всюду, где по виду определителя нельзя узнать его порядок, предполагается, что порядок равен 
):
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 7) 
;
8) 
.
34. Вычислить определители методом представления их в виде суммы (порядок определителей равен ):
1) 
;
2) 
.
35. Докажите, что
1) 
;
2) 
.
35. Вычислить определители, представляя их в виде произведений определителей:
1) 
;
2) 
;
3) 
.
36. Решить системы уравнений по правилу Крамера:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение.
1) Найдем определитель системы:
Вычислим определители, заменяя столбцом свободных членов поочередно столбцы основного определителя:
;
;
;
;
Получим 
.