Приведем другое решение. Вариант № База.




Вариант № База.

1. Вычислите

Решение.

Найдём значение выражения:

 

 

 

Ответ: −4,9.

2. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

.

Ответ: 5.

3. Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

 

 

Решение.

После повышения цены ручка станет стоить 40 + 0,1 40 = 44 рубля. Разделим 900 на 44:

 

 

.

 

Значит, можно будет купить 20 ручек.

 

Ответ: 20.

4. Длина биссектрисы l c, проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле Найдите длину биссектрисы l c, если a = 3, b = 9,

Решение.

Найдём длину биссиктрисы:

 

 

 

 

Ответ: 3.

5. Найдите значение выражения .

Решение.

Выполним преобразования:

 

 

 

Ответ: 1.

6. Павел Иванович купил американский автомобиль, спидометр которого показывает скорость в милях в час. Американская миля равна 1609 м. Какова скорость автомобиля в километрах в час, если спидометр показывает 65 миль в час? Ответ округлите до целого числа.

 

Решение.

Если спидометр показывает скорость 65 миль в час, значит, в километрах это будет 65 1,609 = 104,585 км в час.

 

Ответ: 105.

7. Найдите корень уравнения

Решение.

 

Ответ: 7,25

8. Беговая дорожка стадиона имеет вид, показанный на рисунке, где ― длина каждого из прямолинейных участков, ― длина каждой из двух дуг. Сколько раз должен обежать стадион спортсмен, участвующий в забеге на 800 метров?

Решение.

Найдём длину беговой дорожки стадиона: 2(h + l) = 2(110 + 90) = 400 м. Поэтому спортсмен, участвующий в забеге на 800 метров, должен обежать стадион 800: 400 = 2 раза.

 

Ответ: 2.

9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

 

ВЕЛИЧИНЫ   ВОЗМОЖНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
А) объём ящика с яблоками Б) объём воды в озере Ханка В) объём бутылки соевого соуса Г) объём бассейна в спорткомплексе   1) 108 л 2) 900 м3 3) 0,2 л 4) 18,3 км3

 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A Б В Г
       

Решение.

А) объём ящика с яблоками — реальным является только значение 1)

Б) объём воды в озере Ханка — наибольшая из представленных величин, следовательно, 4)

В) объём бутылки соевого соуса — наименьшая из представленных величин, следовательно, 3)

Г) объём бассейна в спорткомплексе — оставшаяся из величин, следовательно, 2)

 

Ответ: 1432.

10. На фабрике керамической посуды 10% произведённых тарелок имеют дефект. При контроле качества продукции выявляется 80% дефектных тарелок. Остальные тарелки поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранная при покупке тарелка не имеет дефектов. Результат округлите до сотых.

Решение.

Пусть завод произвел тарелок. В продажу поступят все качественные тарелки и 20% невыявленных дефектных тарелок: тарелок. Поскольку качественных из них , вероятность купить качественную тарелку равна

 

 

Ответ: 0,98.

11. В таблице показано расписание пригородных электропоездов по направлению Москва Ленинградская — Клин — Тверь.

Номер электрички Москва Ленинградская Клин Тверь
  17:31 19:04  
  17:46 19:08 19:55
  18:10 19:28 20:15
  18:15 19:37 21:11
  18:21 19:50  
  19:14 20:55  
  19:21 21:10 22:11

Владислав пришёл на станцию Москва Ленинградская в 18:20 и хочет уехать в Тверь на ближайшей электричке без пересадок. В ответе укажите номер этой электрички.

Решение.

Ближайшая электричка в Тверь без пересадок указана под номером 7.

 

Ответ: 7.

12.

В среднем гражданин А. в дневное время расходует 125 кВт ч электроэнергии в месяц, а в ночное время — 155 кВт ч электроэнергии. Раньше у А. в квартире был установлен однотарифный счетчик, и всю электроэнергию он оплачивал по тарифу 2,6 руб. за кВт ч. Год назад А. установил двухтарифный счeтчик, при этом дневной расход электроэнергии оплачивается по тарифу 2,6 руб. за кВт ч, а ночной расход оплачивается по тарифу 0,7 руб. за кВт ч. В течение 12 месяцев режим потребления и тарифы оплаты электроэнергии не менялись. На сколько больше заплатил бы А. за этот период, если бы не поменялся счетчик? Ответ дайте в рублях.

Решение.

Рассмотрим оба типа счётчиков.

 

При использовании однотарифного счётчика, гражданин А. платил в месяц

 

(125 кВт ч + 155 кВт ч) 2,6 руб. за 1 кВт ч = 728 руб.

 

Поэтому за 12 месяцев он платил 728 · 12 = 8736 руб.

 

При использовании двухтарифного счётчика, гражданин А. платит в месяц

 

125 кВт ч 2,6 руб. + 155 кВт ч 0,7 руб. = 433,5 руб.

Поэтому за 12 месяцев он заплатит 433,5 руб. 12 = 5202 руб.

 

Установка нового типа счётчика позволяет экономить 8736 руб. − 5202 руб. = 3534 руб. в год.

13. В бак, имеющий форму прямой призмы, налито 12 л воды. После полного погружения в воду детали, уровень воды в баке поднялся в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ дайте в кубических сантиметрах, зная, что в одном литре 1000 кубических сантиметров.

Решение.

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. После погружения детали в воду объём стал равен 12 · 1,5 = 18 литров, поэтому объём детали равен 18 − 12 = 6 л = 6000 см3.

 

Ответ: 6000.

14. На диаграмме показан график движения материальной точки. На оси Ox отмечается расстояние от точки до начала координат в метрах, на оси — время в секундах, прошедшее с момента начала движения. Для четырёх моментов времени t 1, t 2, t 3, t 4 известно направление и скорость движения точки. Поставьте в соответствие этим моментам направление и скорость.

 

 

     
А) t 1 Б) t 2 В) t 3 Г) t 4   1) Приближается к началу координат со скоростью 3 м/с 2) Удаляется от начала координат со скоростью 3 м/с 3) Приближается к началу координат со скоростью 0,2 м/с 4) Удаляется от начала координат сос скоростью 0,2 м/с

 

Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам:

A Б В Г
       

Решение.

t 1 — приближается к началу координат со скоростью 0,2 м/с.

t 2 — удаляется от начала координат со скоростью 3 м/с.

t 3 — приближается к началу координат со скоростью 3 м/с.

t 4 — удаляется от начала координат со скоростью 0,2 м/с.

Таким образом, получаем соответствие: A — 3, Б — 2, В — 1, Г — 4.

 

Ответ: 3214.

15. Точки O (0; 0), A (10; 8), B (8; 2), C (2; 6) являются вершинами четырехугольника. Найдите ординату точки P пересечения его диагоналей.

Решение.

, ,

, .

Противоположные стороны попарно равны, четырехугольник является параллелограммом, значит, точка P является серединой отрезка CB. Поэтому координаты точки P вычисляются следующим образом:

 

, .

Ответ: 4.

16. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Решение.

Диагональ куба в раз больше его ребра. Получим, что ребро равно

 

Тогда объем куба .

Ответ: 8.

17. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений из правого столбца. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

 

НЕРАВЕНСТВА   РЕШЕНИЯ
А) Б) В) Г)   1) 2) 3) 4)

 

Впишите в приведённую в ответе таблицу под каждой буквой соответствующую цифру.

А Б В Г
       

Решение.

Решим неравенства:

А)

 

Б)

 

В)

 

Г)

 

Ответ: 1324.

18. Перед футбольным турниром измерили рост каждого игрока футбольной команды города N. Оказалось, что рост каждого из футболистов этой команды больше 170 см и меньше 190 см.

Выберите утверждения, которые следуют из данной информации.

 

1) В футбольной команде города N обязательно есть игрок, рост которого равен 180 см.

2) В футбольной команде города N нет игроков с ростом 169 см.

3) Рост любого футболиста этой команды меньше 190 см.

4) Разница в росте любых двух игроков футбольной команды города N составляет не более 20 см.

 

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и

других дополнительных символов.

Решение.

1) Это необязательно так.

2) Такого игрока действительно нет, так как рост всех игроков больше 170 см.

3) Да, ведь это именно то, что сказано в условии.

4) Самый маленький возможный рост — 171 см, а самый большой — 189. То есть максимальная разница — 18 см, что действительно не больше 20 см.

19. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

Решение.

Так как число даёт одинаковый остаток по модулям 4, 5 и 6, то оно также даёт такой же остаток и по модулю 60. То есть число имеет вид Все такие числа: 603, 663, 723, 783, 843, 903, 963. Из них подходят под последнее условие только 843 и 963.

20. В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:

· за 2 золотые монеты получить 3 серебряные и одну медную;

· за 5 серебряных монет получить 3 золотые и одну медную.

У Николая были только серебряные монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 100 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?

Решение.

Пусть Николай сделал сначала операций второго типа, а затем операций первого типа. Тогда имеем:

 

 

Тогда серебряных монет стало на больше, то есть на 20 меньше.

 

Вариант № Профиль.

1. Спидометр автомобиля показывает скорость в милях в час. Какую скорость (в милях в час) показывает спидометр, если автомобиль движется со скоростью 36 км в час? (Считайте, что 1 миля равна 1,6 км.)

Решение.

Чтобы получить количество миль в час, разделим 36 километров в час на 1,6 километра в миле:

Значит, спидометр показывает скорость 22,5 мили в час.

 

Ответ: 22,5.

2. На рисунке жирными точками показана среднемесячная температура воздуха в Сочи за каждый месяц 1920 года. По горизонтали указываются месяцы, по вертикали — температура в градусах Цельсия. Для наглядности жирные точки соединены линией. Определите по рисунку наименьшую среднемесячную температуру в период с мая по декабрь 1920 года. Ответ дайте в градусах Цельсия.

Решение.

Из графика видно, что наименьшая среднемесячная температура в период с пятого по двенадцатый месяц (с мая по декабрь) была в ноябре и составляла 6 °C (см. рисунок).

 

Ответ: 6.

3. На клетчатой бумаге с размером клетки изображён квадрат. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение.

радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны.

 

Ответ: 2.

4. В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Решение.

Рассмотрим события

А = кофе закончится в первом автомате,

В = кофе закончится во втором автомате.

Тогда

A·B = кофе закончится в обоих автоматах,

A + B = кофе закончится хотя бы в одном автомате.

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B) = 0,3 + 0,3 − 0,12 = 0,48.

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

 

Ответ: 0,52.

 

Приведем другое решение.

Вероятность того, что кофе останется в первом автомате, равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется во втором автомате, равна 1 − 0,3 = 0,7. Вероятность того, что кофе останется в первом или втором автомате равна 1 − 0,12 = 0,88. Поскольку P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A·B), имеем: 0,88 = 0,7 + 0,7 − х, откуда искомая вероятность х = 0,52.

 

Примечание.

Заметим, что события А и В не являются независимыми. Действительно, вероятность произведения независимых событий была бы равна произведению вероятностей этих событий: P(A·B) = 0,3·0,3 = 0,09, однако, по условию, эта вероятность равна 0,12.

5. Найдите корень уравнения

Решение.

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем , откуда

 

Ответ: 3.

6. Около окружности, радиус которой равен 3, описан многоугольник, периметр которого равен 20. Найдите его площадь.

Решение.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, полупериметр равен p, радиус окружности равен R. Тогда

 

Ответ: 30.

7. На рисунке изображён график некоторой функции y = f (x). Функция — одна из первообразных функции f (x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение.

Найдем формулу, задающую функцию график которой изображён на рисунке.

Следовательно, график функции получен сдвигом графика функции на единиц влево вдоль оси абсцисс. Поэтому искомая площадь фигуры равна площади фигуры, ограниченной графиком функции и отрезком оси абсцисс. Имеем:

 

Ответ: 4.

 

Еще несколько способов рассуждений покажем на примере следующей задачи.

8. Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.

Решение.

Поскольку боковые грани SAB, SDC и SBC наклонены к основани. под углом 60°, углы A и D в треугольнике ASD и угол G в треугольнике SGH равны 60°.

Поэтому треугольник ASD — равносторонний, а его сторона связана с высотой формулой откуда

Из прямоугольного треугольника SHG находим:

Поскольку ABCD — прямоугольник, его площадь равна произведения сторон:

Осталось найти объём пирамиды:

 

Ответ: 48.

9. Найдите значение выражения при

Решение.

Воспользуемся тождеством и раскроем модули на отрезке [6; 10]:

 

Ответ: 4.

10. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону где – время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, – начальная высота столба воды, – отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а – ускорение свободного падения (считайте м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?

Решение.

Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является

Четверть первоначального объёма воды в баке останется, когда высота столба воды будет 5 м. Определим требуемое на вытекание трех четвертей воды время — найдем меньший корень уравнения :

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.

 

Ответ: 50.

11. Из городов A и B навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист приехал в B на 3 часа раньше, чем велосипедист приехал в A, а встретились они через 48 минут после выезда. Сколько часов затратил на путь из B в A велосипедист?

Решение.

Примем расстояние между городами 1. Пусть время движения велосипедиста равно ч, тогда время движения мотоциклиста равно ч, К моменту встречи они находились в пути 48 минут и в сумме преодолели всё расстояние между городами, поэтому

Таким образом, велосипедист находился в пути 4 часа.

 

Ответ: 4.

12. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [−2,5; 0].

Решение.

Найдем производную заданной функции:

 

Найдем нули производной на заданном отрезке:

 

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке заданная функция имеет минимум, являющийся ее наименьшим значением на заданном отрезке. Найдем это наименьшее значение:

 

Ответ: −6.

13. а) Решите уравнение:

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

Решение.

 

а) Воспользуемся формулой Из неё следует, что Поэтому из исходного уравнения получаем:

 

 

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

 

Получим

 

Ответ: а) б)

 

 



Поделиться:




Поиск по сайту

©2015-2024 poisk-ru.ru
Все права принадлежать их авторам. Данный сайт не претендует на авторства, а предоставляет бесплатное использование.
Дата создания страницы: 2020-06-06 Нарушение авторских прав и Нарушение персональных данных


Поиск по сайту: