ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТАТИЧЕСКИ

ОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМАХ

Литература: [1] §5.4-5.6; [2] §104-107; [3] §38-40; [4] §VIII.3-VIII.4; [5] §6.1; [11] §5.6,5.7; [12] §3.2.

Задача 4.1 Для балок, схемы которых изображены на рис. 4.1, определить способом Верещагина вертикальное перемещение Δ или угол поворота φ одного из указанных сечений. Жесткость балки на изгиб EJ=4ּ10⁵ Н ּм². Остальные данные взять из табл. 4.1.

Таблица 4.1

№ строки	Номер схемы	P кН	q кН/м	М кН ּм	l1 м	l2 м	l3 м	Номер сечения	Вид перемещения
Вариант А	Вариант В
1										φ
2										Δ
3										φ
4										Δ
5										φ
6										Δ
7										φ
8										Δ
9										φ
0										Δ
	Е	д	е	д	е	е	д	д	е

Пример выполнения задачи 4.1. Для балки, изображенной на

рис. 4.2, а, определить вертикальное перемещение сечения 1 и угол поворота сечения 2. Жесткость балки на изгиб постоянна и равна EJ= 5ּ10² кН ּм². Остальные данные показаны на рисунке.

Решение. Определение перемещений от действия внешней нагрузки в стержневых системах, работающих на изгиб, проводится с помощью интеграла Мора

, (4.1)

который при постоянной на участках изгибной жесткости удобнее вычислять способом Верещагина

. (4.2)

В формулах (4.1) и (4.2): и – выражения изгибающих моментов в произвольном сечении i-го рассматриваемого участка от действия заданной внешней нагрузки и обобщенного усилия , приложенного в направлении искомого обобщенного перемещения Δ_кр; ω_i - площадь эпюры и лежат по одну сторону оси стержня, то произведение ω_iy_i берется со знаком "+", а если они лежат по разные стороны. то произведение ω_iy_i принимает знак "–".

Для определения вертикального перемещения сечения 1 необходимо построить эпюру от действия внешней нагрузки (рис. 4.2, б) и эпюру от действия силы , приложенной вертикально в точке 1 (рис. 4.2, в). При определении угла поворота сечения в точке 2 строится эпюра от действия единичного изгибающего момента , приложенного в точке 2 (рис. 4.2, г). Построение указанных эпюр моментов проводим с помощью метода сечений, предварительно определяя реакции, возникающие в опорах (см. контрольную работу №1). При определении на участках площадей эпюры М_р и положения их центров тяжести воспользуемся табл. 4.2, в которой приведены наиболее часто встречающиеся случаи. Более сложные фигуры могут быть получены из приведенных путем их разбиения на простые.

Таблица 4.2

№ п/п	Положение центра тяжести и площади фигур	№ п/п	Положение центра тяжести и площади фигур

Число участков по построенным эпюрам равно четырем (их номера показаны на рис. 4.2, а). При этом на втором участке криволинейную фигуру эпюры М_р разобьем на треугольник и параболический сегмент (рис. 4.2, б) а на четвертом участке– трапецию на два треугольника. Найдем по участкам площади фигур эпюры М_р

, , ,

, ,

и соответствующие ординаты y_i на эпюре под их центрами тяжести

, , , ,

, .

Подставляя найденные значения площадей эпюры М_р и ординаты y_i эпюры в формулу (4.2) и учитывая взаимное расположение указанных эпюр (или знаки произведений ), определим вертикальное перемещение точки 1

Следует отметить, что на 4-м участке произведение может быть вычислено с помощью формулы "перемножения" трапеции (табл. 4.2, №5)

.

Найденное значение перемещений точки 1 имеет знак "–". Следовательно. точка 1 перемещается вверх, в сторону, противоположную действию единичной силы .

Для определения угла поворота φ₂ сечения 2 вычислим ординаты y_i на построенной от действия единичного момента эпюре (рис. 4.2, г):

, , , ,

, .

и, используя выше найденные значения площадей ω_i, фигур эпюры, М_р, по формуле (4.2) получаем