ЗАДАНИЕ ПО ТЕМЕ «ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ»
1. Ознакомьтесь с историей возникновения аксиоматического метода в геометрии.
2. Выучите аксиомы геометрии.
3. Докажите следствия из аксиом.
4. Выучите формулировки утверждений, эквивалентных пятому постулату Евклида.
АКСИОМАТИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ
Основным методом изучения свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве является аксиоматический метод. Предполагается, что даны три различных множества. Элементы первого множества называются точками, элементы второго – прямыми, а элементы третьего – плоскостями. Точки, прямые и плоскости – основные объекты. Основные объекты находятся в определенных отношениях, которые называются основными отношениями. К основным отношениям относятся «принадлежность», «лежать между», и «конгруэнтность». Природа основных понятий, т.е. основных объектов и основных отношений, может быть какой угодно, но они должны удовлетворять определенным аксиомам.
Аксиомы – это те основные положения геометрии, которые принимаются без доказательства. Все остальные предложения геометрии мы должны вывести из аксиом с помощью строгих логических рассуждений (доказательств).
Итак, суть аксиоматического метода заключается в том, что, используя основные понятия и аксиомы, мы определяем новые понятия, формулируем и доказываем теоремы и таким образом изучаем свойства геометрических фигур.
Поэтому перед математиками возникла задача построить такую систему аксиом элементарной геометрии, на базе которой, опираясь лишь на законы логики, без ссылок на наглядность и очевидность можно было бы изложить всю геометрию.
Впервые список аксиом, достаточный для логического построения евклидовой геометрии был дан в книге Д.Гильберта «Основания геометрии», вышедшей в 1899 году.
СИСТЕМА АКСИОМ ГИЛЬБЕРТА ПОСТРОЕНИЯ ЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ
Основные (неопределяемые) объекты: точки, прямые, плоскости.
Основные (неопределяемые) отношения: «принадлежать», «лежать между», «конгруэнтность».
Основные объекты + основные отношения = основные понятия.
Основные понятия удовлетворяют следующим аксиомам.
1 группа аксиом (аксиомы принадлежности)
Аксиомы этой группы определяют свойства взаимного расположения точек, прямых и плоскостей.
I1. Каковы бы ни были две точки А и В, существует (хотя бы одна) прямая а, которой они принадлежат.
I2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует не более одной прямой, которой они принадлежат.
I3. Для каждой прямой существуют хотя бы две точки, которые ей принадлежат. Существуют по крайней мере три точки, не принадлежащие одной прямой.
I4. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, существует (хотя бы одна) плоскость, которой они принадлежат. Каждой плоскости принадлежит хотя бы одна точка.
I5. Каковы бы ни были три точки А, В, С, не принадлежащие одной прямой, существует не более одной плоскости, которой они принадлежат.
I6. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то каждая точка прямой принад лежит этой плоскости.
I7. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют по крайней мере еще одну общую точку.
I8. Существуют по крайней мере четыре точки, не принадлежащие одной плоскости.
Определение. Говорят, что
прямая а проходит через точки А и В, если эти точки принадлежат прямой а.
плоскость a проходит через точки А, В и С, если эти точки принадлежат плоскости a.
Определение. Если две прямые (две плоскости, прямая и плоскость) имеют общие точки, то говорят, что они пересекаются. Если все точки прямой лежат в плоскости, то говорят, что эта прямая лежит в плоскости.
II группа аксиом (аксиомы порядка)
Предполагается, что точка на прямой может находиться в известном отношении к двум другим точкам той же прямой; это отношение выражается словами «лежать между». Если точка В лежит между точками А и С, то мы запишем так: А – В – С. При этом выполняются следующие аксиомы:
II1. Если А-В-С, то С-В-А и А, В и С – различные точки одной прямой
II2. Каковы бы ни были две точки А и В, существует по крайней мере одна точка С, такая, что А-В-С.
II3. Среди любых трех точек прямой не более одной точки лежит между двумя другими.
Определение. Отрезок – это фигура, состоящая из двух точек (концы отрезка) и всех точек, лежащих между ними (внутренние точки).
Определение. Прямая пересекает отрезок, если она проходит через внутреннюю точку этого отрезка
II4. (Аксиома Паша). Пусть А, В, С – три точки, не лежащие на одной прямой, а а – прямая в плоскости (АВС), не проходящая ни через одну из точек А, В, С. Тогда если прямая а пересекает один из отрезков АВ, АС и ВС, то она пересекает по крайней мере один из двух оставшихся отрезков.
!!! Очень часто при решении задач используется утверждение: если точка В лежит между точками А и С, то точка А не лежит между точками В и С.
Можно доказать теорему Паша: Пусть А, В, С – три точки (возможно, лежащие на одной прямой), а – прямая, лежащая в одной плоскости с точками А,В и С, не проходящая ни через одну из этих. Тогда если прямая а пересекает один из отрезков АВ, АС и ВС, то она пересекает один и не пересекает другой из двух оставшихся отрезков.