Условной вероятностью Р (В / А) называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А уже наступило.
Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
Р (А ∙ В) = Р (А)∙Р(В / А). (2)
Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого, т.е.
Р (А) = Р (А/В) или Р (В) = Р (В / А). (3)
Если события А и В независимы, то из формул (2) и (3) следует
Р (А ∙ В) = Р (А)∙ Р (В). (4)
Справедливо и обратное утверждение, т.е. если для двух событий выполняется равенство (4), то эти события независимы. В самом деле, из формул (4) и (2) вытекает
Р (А ∙ В) = Р (А)∙ Р (В) = Р (А)× Р (В / А), откуда Р (А) = Р (В / А).
Формула (2) допускает обобщение на случай конечного числа событий А 1, А 2,…, Аn:
Р (А 1∙ А 2∙…∙ Аn)= Р (А 1)∙ Р (А 2/ А 1)∙ Р (А 3/ А 1 А 2)∙…∙ Р (Аn / А 1 А 2… Аn -1).
Задача. Из урны, в которой 5 белых и 10 черных шаров, вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые (событие А).
Решение. Рассмотрим события: В – первый вынутый шар белый; С – второй вынутый шар белый. Тогда А = ВС.
Опыт можно провести двумя способами:
1) с возвращением: вынутый шар после фиксации цвета возвращается в урну. В этом случае события В и С независимы:
Р (А) = Р (В)∙ Р (С) = 5/15×5/15 = 1/9;
2) без возвращения: вынутый шар откладывается в сторону. В этом случае события В и С зависимы:
Р (А) = Р (В)∙ Р (С / В).
Для события В условия прежние, 
, а для С ситуация изменилась. Произошло В, следовательно в урне осталось 14 шаров, среди которых 4 белых 
.
Итак, 
.
Задача. Среди 50 электрических лампочек 3 нестандартные. Найти вероятность того, что две взятые одновременно лампочки нестандартные.
|
|
Решение. Рассмотрим события: А – первая лампочка нестандартная, В – вторая лампочка нестандартная, С – обе лампочки нестандартные. Ясно, что С = А ∙ В. Событию А благоприятствуют 3 случая из 50 возможных, т.е. Р (А) = 3/50. Если событие А уже наступило, то событию В благоприятствуют два случая из 49 возможных, т.е. Р (В / А) = 2/49. Следовательно,
.
Задача. Два спортсмена независимо друг от друга стреляют по одной мишени. Вероятность попадания в мишень первого спортсмена равна 0,7, а второго – 0,8. Какова вероятность того, что мишень будет поражена?
Решение. Мишень будет поражена, если в нее попадет либо первый стрелок, либо второй, либо оба вместе, т.е. произойдет событие А+В, где событие А заключается в попадании в мишень первым спортсменом, а событие В – вторым. Тогда
Р (А + В)= Р (А)+ Р (В)– Р (А ∙ В)=0,7+0,8–0,7∙0,8=0,94.
Задача. В читальном зале имеется шесть учебников по теории вероятностей, из которых три в переплете. Библиотекарь наудачу взял два учебника. Найти вероятность того, что два учебника окажутся в переплете.
Решение. Введем обозначения событий: A – первый взятый учебник имеет переплет, В – второй учебник имеет переплет. Вероятность того, что первый учебник имеет переплет,
P (A) = 3/6 = 1/2.
Вероятность того, что второй учебник имеет переплет, при условии, что первый взятый учебник был в переплете, т.е. условная вероятность события В, такова: P (B / А) = 2/5.
Искомая вероятность того, что оба учебника имеют переплет, по теореме умножения вероятностей событий равна
|
|
P (AB) = P (A) ∙ P (B / А) = 1/2·∙ 2/5 = 0,2.
Задача. В цехе работают 7 мужчин и 3 женщины. По табельным номерам наудачу отобраны три человека. Найти вероятность того, что все отобранные лица окажутся мужчинами.
Решение. Введем обозначения событий: A – первым отобран мужчина, В – вторым отобран мужчина, С – третьим отобран мужчина. Вероятность того, что первым будет отобран мужчина, P(A) = 7/10.
Вероятность того, что вторым отобран мужчина, при условии, что первым уже был отобран мужчина, т.е. условная вероятность события В следующая: P(B/А) = 6/9 = 2/3.
Вероятность того, что третьим будет отобран мужчина, при условии, что уже отобраны двое мужчин, т.е. условная вероятность события С такова: P (C / АВ) = 5/8.
Искомая вероятность того, что все три отобранных лица окажутся мужчинами, P (ABC) = P (A) P (B / А) P (C / АВ) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.