В процессе вычисления и статистико-экономического анализа средней арифметической может оказаться полезным знание некоторых ее математических свойств (без развернутых доказательств).
Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной:
_
А=А при А=const.
Сумма отклонений отдельных вариант от средней арифметической равна "0". Это свойство средней используется для проверки правильности расчетов, а также дает возможность облегчить вычисление средней арифметической.
_
å (Х-Х) =0
и для сгруппированных данных:
_
å (Х-Х) *f=0.
Сумма квадратов отклонений индивидуальных значений признаков (отдельных вариантов) от средней арифметической есть число наименьшее:
_
å (Х-Х) 2=min.
И для сгруппированных данных:
_
å (Х-Х) 2*f=min.
Первые три свойства выражают сущностные черты рассматриваемой категории. Следующие позиции можно рассматривать, как вычислительные, поскольку они имеют некоторое прикладное значение.
Если все варианты признака Х увеличить или уменьшить на постоянное число А, то и со средней арифметической произойдет то же самое:
_
å (Х±А) /n=Х±А.
_
И å (Х±А) *f/åf=Х±А.
Если все варианты разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая уменьшится в d раз:
_
å (Х/d) /n = X/d,
_
и å ((Х/d) *f) /åf = X/d.
Если все веса разделить на какое-либо постоянное число d, то средняя арифметическая не изменится:
_
å (X (f/d)) /å (f/d) = (1/d) *å (X*f) / (1/d) *åf =X.
Из этого свойства вытекают два методических следствия:
Следствие 1. Абсолютные значения весов можно заменять их процентным выражением, приняв åf=100,0.
Следствие 2. Если все веса равны между собой, то вычисления средней арифметической простой дает результат, аналогичный вычислению средней арифметической взвешенной.
Прикладные свойства средней арифметической можно проиллюстрировать, применив упрощенный способ расчета, называемый "способом моментов".
Формула средней арифметической, исчисленной способом моментов, имеет вид:
_
Х = m1*d+A, где
m1 - первый момент, вычисляемый по формуле:
m1=å ((x-А) /d*f) /åf, где
А - произвольная постоянная величина, чаще всего - это то значение признака, которое занимает срединное положение в данном ряду или то, которое имеет наибольшую частоту;
d - постоянная произвольная величина, выбирается после того, как найдены разности (х-А). Для вариационного ряда с равновеликими интервалами d принимается равным величине интервала. В остальных случаях d - это общий наибольший делитель разности (х-А).
Средняя гармоническая
Как указывалось выше, в статистической практике в большинстве случаев при определении средней величины применяется средняя арифметическая. Однако в ряде случаев используются и другие виды средних.
Средняя гармоническая - это величина обратная средней арифметической из обратных значений признака.
Простая средняя гармоническая - это величина, обратная средней арифметической из обратных значений признака. Средняя гармоническая бывает простой и взвешенной.
Простая средняя гармоническая вычисляется по формуле:
_
Х=n/å (1/X).
Например, на изготовление единицы продукции один рабочий затрачивает 40 мин, а другой - 48 мин. Следует определить среднюю затрату времени на изготовление единицы продукции.
Если исчислить по формуле средней арифметической, то получим:
_
Х= (40+48) /2=44мин.
Это средняя неточная, неправильная. Если на одно изделие затрачивается 40 мин, то при 8-часовом рабочем дне первый рабочий вырабатывает 12 изделий (8*60/40), а второй - 10 изделий (8*60/48). Вместе они вырабатывают в смену 22 изделия и затрачивают 960 мин (480+480), отсюда средние затраты времени исчислим по формуле средней гармонической:
_
Х= 2/ (1/40+1/48) =43,6мин.
Средняя гармоническая взвешенная определяется по формуле:
_
Х=åМ/å (М/х), где М=х*f.
Пример.
| Партия деталей | Себестоимость одной детали Х, р | Затраты на всю партию деталей М, р |
| 1,8 | ||
| 2,0 | ||
| 2,3 |
_
Х=åМ/å (М/Х) = (180+400+165) / (180/1,8+400/2+165/2,3) =1,98р.
Средняя себестоимость единицы продукции исчислена по формуле средней гармонической, так как исходной базой исчисления средней себестоимости является отношение затрат на производство всей продукции к количеству единиц продукции.
Выбор вида средней зависит от задачи, стоящей перед исследователем, и характера исходных данных. Если имеются варианты и частота, то для расчета средней величины применяется средняя арифметическая. В тех случаях, когда имеются варианты и произведения вариант на частоты (Х*f), а частоты неизвестны, для расчета средней величины используется средняя гармоническая.
Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда следует исчислить среднюю из величин, обратно пропорциональных изучаемому явлению.
Среднее геометрическое рассчитывается по формуле
_
Х= nÖx1*x2*…*xn= nÖn*xi
При применении средней геометрической индивидуальные значения признака представляют собой относительные величины динамики, построенные в виде цепных величин. Средняя характеризует средний коэффициент роста.
Средняя геометрическая используется так же для определения равноудаленной величины от max и min значений признака. Например, страховая фирма заключает договор на оказание клиентам различных услуг медстрахования. В зависимости от категорий медслучая, страховая сумма может изменяться от 100 до 10000грн. Средняя сумма выплат по страхованию Ö100*10000=1000грн.
При расчете средней по сгруппированным данным важное значение имеет обоснование и выбор веса при расчете средней арифметической взвешенной. Например, имеются данные о доле экспорта в стоимости товарной продукции предприятия, выпускающего минеральные удобрения.
| Доля экспорта в товарной продукции | Число предприятий | Товарная продукция предприятия тыс. грн |
| 0,15 | ||
| 0,2 | ||
| 0,3 | ||
| Итого |
Средняя доля экспорта, исчисленная как средняя арифметическая взвешенная по числу предприятий, является формальной средней:
_
Х= (0,15*5+0,2*7+0,3*4) /16=0, 209=20,9%
Логически обоснованным можно считать выбор в качестве весов объемов товарной продукции, так как доля экспорта
_
Х= (0,15*200+0,2*460+0,3*600) /1260=0,24=24%
В числителе общая стоимость экспорта, в знаменателе - общая стоимость продукции по 6предприятиям.
Применение средних хронологической, геометрической и квадратической ограничивается специфическими случаями, которые будут рассмотрены в следующих темах.