Расчёт на прочность при переменных напряжениях.

В подавляющем большинстве случаев расчеты на прочность де­талей, работающих при переменных напряжениях, выполняют как проверочные. Это связано в первую очередь с тем, что общий коэффициент снижения предела выносливости в про­цессе конструирования детали можно выбрать лишь ориентировоч­но, так как у расчетчика (конструктора) на этой стадии работы имеются лишь весьма приближенные представления о размерах и форме детали. Проектный расчет детали, служащий для определе­ния её основных размеров, обычно выполняется приближенно без учета переменности напряжений, но по пониженным допускаемым напряжениям.

После выполнения рабочего чертежа детали производится ее уточненный проверочный расчет с учетом переменности напряже­ний, а также конструктивных и технологических факторов, влияю­щих на усталостную прочность детали. При этом определяют рас­четные коэффициенты запаса прочности п для одного или нескольких предположительно опасных сечений детали. Эти коэффициенты запаса сопоставляют с теми, которые назначают или рекомендуют для деталей, аналогичных проектируемой при заданных условиях ее эксплуатации. При таком проверочном расчете условие прочно­сти имеет вид

Величина требуемого коэффициента запаса прочности [п] зави­сит от целого ряда обстоятельств, основными из которых являются: назначение детали (степень ее ответственности), условия работы; точность определения действующих на нее нагрузок, надежность сведений о механических свойствах ее материала, значениях коэф­фициентов концентрации напряжений и т. п. Обычно .

В случае, если расчетный коэффициент запаса прочности ниже требуемого (т.е. прочность детали недостаточна) или значительно выше требуемого (т.е. деталь неэкономична), приходится вносить те или иные изменения в размеры и конструкцию детали, а в от­дельных случаях даже изменять её материал.

Рассмотрим определение коэффициентов запаса прочности при одноосном напряженном состоянии и при чистом сдвиге. Первый из этих видов напряженного состояния, как известно, возникает при растяжении (сжатии), прямом или косом изгибе и совместном изгибе и растяжении (или сжатии) бруса. Напомним, что касательные напряжения при изгибе (прямом и косом) и сочетании изгиба с осевым нагружением в опасной точке бруса, как правило, невелики ипри расчете на прочность ими пренебрегают, т.е. считают, что в опасной точке возникает одноосное напряженное состояние.

Чистый сдвиг возникает в точках работающего на кручение бруса круглого поперечного сечения.

В большинстве случаев коэффициент запаса прочности определяют в предположении, что рабочий цикл напряжений, возникающих в рассчитываемой детали при ее эксплуатации, подобен предель­ному циклу, т. е. коэффициенты асимметрии R и характеристики рабочего и предельного циклов одинаковы.

Наиболее просто коэффициент запаса прочности можно опреде­лить в случае симметричного цикла изменения напряжений, так как пределы выносливости материала при таких циклах обычно известны, а пределы выносливости рассчитываемых деталей можно вычислить по взятым из справочников значениям коэффициентов снижения пределов выносливости -коэффициент запаса прочности представляет собой отношение предела выносливости, определенного для детали, к номинальному значению максимального напряжения, возникающего в опасной точке детали. Номинальным является значение напряжения, определенное по основным форму­лам сопротивления материалов, т.е. без учета факторов, влияющих на величину предела выносливости (концентрации напряжений и т.п.).

Таким образом, для определения коэффициента запаса прочно­сти при симметричных циклах получаем следующие зависимости;

при изгибе

(15.15)

при растяжении

(16.15)

 

при кручении

(17.15)

 

При определении коэффициента запаса прочности в случае асимметричного цикла возникают затруднения, связанные с отсут­ствием экспериментальных данных, необходимых для построения участка AD линии предельных напряжений (см. рис. 7.15). Заме­тим, что практически нет надобности в построении всей диаграммы предельных амплитуд, так как для циклов с пределами выносли­вости, большими предела текучести, коэффициент запаса должен определяться по текучести (для пластичных материалов), т.е. рас­чет должен выполняться, как в случае статического действия нагрузкн.

При наличии экспериментально полученного участка AD пре­дельной кривой коэффициент запаса можно бы определить графо­аналитическим способом. Как правило, эти экспериментальные данные отсутствуют и кривую AD приближенно заменяют прямой, построенной по каким-либо двум точкам, координаты которых опре­делены экспериментально. В результате получают так называемую схематизированную диаграмму предельных амплитуд, которой и пользуются при практических расчетах иа прочность.

Рассмотрим основные способы схематизации безопасной зоны диаграммы продельных амплитуд.

Рис. 9.15

 

В современной расчетной практике наиболее часто применяется диаграмма Серенсена-Кинасошвили, при построении которой уча­сток AD заменяют прямой линией, проведенной через точки А и С, соответствующие предельным симметричному и отнулевому циклам (рис. 9.15, а). Достоинством этого способа является его относительно высокая точность (аппроксимирующая прямая АС, близка к кривой AD); недостаток его заключается в том, что не­обходимо кроме величины предела выносливости при симметричном цикле иметь опытные данные о величине предела выносливости также и при отнулевом цикле.

При пользовании этой диаграммой коэффициент запаса опре­деляется по выносливости (усталостному разрушению), если луч циклов, подобных заданному, пересекает прямую и по текучести, если указанный луч пересекает линию DL .

Несколько меньшую, но во многих случаях достаточную для практических расчетов точность даст метод, основанный па ап­проксимации участка AD предельной кривой отрезком прямой линии (рис. 9.15, б), проведенной через точки А (соответствующую симметричному циклу) и В (соответствующую предельным постоян­ным напряжениям). Достоинством рассматриваемого способа яв­ляется меньшее по сравнению с предыдущим количество требуемых экспериментальных данных (не нужны данные о величине предела выносливости при отнулевом цикле). Какой из коэффициентов за­паса, по усталостному разрушению или по текучести, меньше, определяют так же, как и в предыдущем случае.

В третьем типе схематизированных диаграмм (рис. 9.15, в) ап­проксимирующую прямую проводят через точку А и некоторую точку Р, абсцисса которой определяется в результате обработки имеющихся экспериментально полученных диаграмм предельных напряжений. Для стали с достаточной точностью можно принимать, что отрезок равен . Точность таких диаг­рамм почти не отличается от точности диаграмм, построенных по методу Серенсена – Кинасошвили.

Особенно проста схематизированная диаграмма, в которой бе­зопасная зона ограничена прямой AL (рис. 9.15, г). Легко видеть, что расчет по такой диаграмме весьма неэкономичен, так как па схематизированной диаграмме линия предельных напряжений рас­положена значительно ниже действительной линии предельных на­пряжений.

Кроме того, такой расчет не имеет определенного физического смысла, так как неизвестно, какой коэффициент запаса, по устало­сти или по текучести, будет определен. Несмотря на указанные серьезные недостатки, диаграмма по рис. 9.15, г иногда используется в зарубежной практике; в отечественной практике в последние годы такая диаграмма не применяется.

Выведем аналитическое выражение для определения коэффици­ента запаса прочности по усталостному разрушению па основании рассмотренных схематизированных диаграмм предельных амплитуд. На первом этапе вывода не будем учитывать влияние факторов, снижающих предел выносливости, т. е. сначала получим формулу, пригодную для нормальных лабораторных образцов.

Допустим, что точка N, изображающая рабочий цикл напря­жений, находится в области (рис. 10.15) и, следовательно, при возрастании напряжений до величины, определяемой точкой К, наступит усталостное разрушение (как уже указывалось, предпо­лагается, что рабочий и предельный циклы подобны). Коэффициент запаса по усталостному разрушению для цикла, изображенного точкой N, определяется как отношение

 

 

Проведем через точку N прямую параллельную прямой и горизонтальную прямую NE. Из подобия треугольников OAK и следует, что

(а)

Как следует из рис. 10.15,

 

где

 

Подставим полученные значения величин и в равенство (а):

 

(б)

 

Аналогично в случае переменных касательных напряжений

 

(в)

 

Значения и зависят от принятого для расчета типа схе­матизированной диаграммы предельных напряжений и от материала детали.

 

Рис. 10.15

 

Так, если принять диаграмму Серенсена-Кинасошвили (см. рис.9.15, а), то

 

,

или

(18.15)

 

аналогично

(19.15)

 

По схематизированной диаграмме, изображённой на рис. 9.15, б,

 

,

или

(20.15)

аналогично

(21.15)

Значения и при расчёте по методу Серенсена-Кинасошвили можно принимать по приведённым данным (табл. 1.15)

 

Значения коэффициентов и для стали

 

Сталь	Предел прочности при растяжении	при изгибе	при растяжении	при кручении
Углеродистая		0,05 0,07 0,08 0,10 0,12	0,07 0,08 0,09 0,11 0,14	0,03 0,03 0,04 0,04 0,05
Легированная		0,15 0,17 0,22 0,22	0,16 0,19 0,24 0,25	0,06 0,07 0,10 0,12

 

При определении коэффициента запаса прочности для конкрет­ной детали надо учесть влияние коэффициента снижения предела выносливости . Опыты показывают, что концентрация на­пряжений, масштабный эффект и состояние поверхности отражаются только па величинах предельных амплитуд и практически не влияют на величины предельных средних напряжений. Поэтому в расчет­ной практике принято коэффициент снижения пре­дела выносливости относить только к амплитуд­ному напряжению цикла. Тогда окончательные формулы для определения коэффициентов запаса прочности по усталостному разрушению будут иметь вид:

при изгибе

(22.15)

При кручении

(23.15)

 

При растяжении-сжатии следует пользоваться формулой (22.15), но вместо (подставлять в нее предел выносливости , при симметричном цикле растяжения-сжатия.

Формулы (22.15), (23.15) действительны при всех указанных способах схематизации диаграмм предельных напряжений; изме­няются лишь величины коэффициентов .

Формула (22.15) получена для циклов с положительными сред­ними напряжениями ; для циклов с отрицательными (сжимающими) средними напряжениями ; следует полагать , т.е. исходить из предположения о том, что в зоне сжатия линия предельных напряжений параллельна оси абсцисс.

Наряду с коэффициентом запаса по усталостному разрушению должен быть определен коэффициент запаса по текучести.

При изгибе (или при растяжении-сжатии)

 

(24.15)

при кручении

(25.15)

 

В качестве расчетного следует принимать меньший из коэффи­циентов запаса, определенных по формулам (22.15) и (24.15), или (23.15) и (25.15).

Выше указывалось, что в большинстве случаев расчеты па усталостную прочность выполняют как проверочные. Однако в некоторых простейших случаях возможен проектный расчет на усталостную прочность по допускаемому напряжению , соот­ветствующему заданной характеристике цикла ( или ). Выведем формулу для допускаемого нормального напряжения при цикле с характеристикой . Полагая в формуле (22.15) , имеем

 

Отсюда

 

,

 

,

 

но

 

и, следовательно

 

(26.15)

 

Аналогично допускаемое касательное напряжение

 

(27.15)

 

Приведем теперь без обоснований зависимость для определения коэффициента запаса прочности при работе бруса на совместное действие изгиба с кручением, или кручения с растяжением (сжа­тием), или изгиба с кручением и растяжением (сжатием), т. е. для тех случаев, когда в опасной точке детали возникает плоское напряженное состояние. В указанных случаях общий коэффициент запаса прочности определяется из выражения

 

(28.15)

 

Здесь - общий коэффициент запаса прочности; - коэффициент запаса прочности по нормальным напряжениям; - коэффициент запаса прочности по касательным напряжениям.

Аналогично определяется общий коэффициент запаса по пре­делу текучести—следует лишь заменить и соответственно на и .

Формула (28.15) применима в случае, если нормальные и каса­тельные напряжения в проверяемой точке детали изменяются син­хронно, т.е. одновременно достигают своих максимальных и мини­мальных значений. Указания о выполнении расчетов в случаях, когда это условие не соблюдается, приводятся в специальной литературе.

Формула (28.15) обычно применяется при уточненном прове­рочном расчете валов. При этом часто определение коэффициента запаса приходится выполнять для нескольких сечений вала, так как без расчета нельзя установить, какое из них является опасным. Сечение, для которого коэффициент запаса прочности имеет мини­мальное значение, и является опасным.

Примеры расчета

Пример 1.15.

 

Цилиндрический стержень с поперечным отверстием (рис. 11.15) изготовлен из стали 45 (, , . Стержень работает на растяжение при нагрузке, изменяющейся по отнулевому

(пульсирующему) циклу. Определить коэффи­циент запаса прочности для опасного сечения стержня, если

Как изменится коэффициент запаса, если стержень изготовлен из хромистой стали 40Х ( , , ?В этом случае .

Решение. Коэффициент запаса по усталостному разрушению определим по формуле (22.15) с заменой на :

По табл. 1.15, .

Общий коэффициент снижения предела выносливости при симметричном цикле

 

 

При отнулевом (пульсирующем) цикле

 

 

Номинальное значение максимального напряжения для опасного сечения (про­ходящего через центр отверстия)

 

 

Таким образом,

Для стали 40X

По формуле (22.15),

 

 

 

Таким образом, в данном случае применение более качественной легированной стали не дает почти никакого эффекта—коэффициент запаса во втором случае всего на 0,5% больше, чем в первом. Это объясняется тем, что более прочная легированная сталь чувствительнее к влиянию концентрации напряжений и масштабного эф­фекта.

Нетрудно установить, что при применении как стали 45, так и стали 40X коэффициенты запаса по текучести выше, чем по устало­стному разрушению ( для стержня из стали 45 и для стержня из стали 40X), и, следовательно, ра­счетными являются коэффициенты запаса по усталостному разрушению.

 

Пример 2.15.

Определить коэффициент запаса прочности клапанной пружины, изготовленной из хромованадиевой проволоки (; ; ; ; ). Размеры пружины: средний диаметр , диаметр проволоки , число рабочих витков .Предварительная осадка пружины , наибольший ход клапана .

Решение. Максимальные (расчетные) напряжения в поперечном сечении витка определяются по формулам:

 

 

Осадка пружины определяется по формуле

(Здесь заменено обозначение числа рабочих витков пружины – принято вместо ):

 

Из формул для и получаем

Определяем минимальное напряжение цикла, т. е. величину при закрытом клапане:

 

Определяем максимальное напряжение цикла, т. е. величину т при наиболь­шем открытии клапана,

когда

Среднее напряжение цикла

 

;

амплитуда цикла

 

Полагая, что предел выносливости определен на образцах того же диа­метра и с тем же состоянием поверхности, что и проволока, из которой изготов­лена пружина, принимаем

Коэффициент запаса усталостной прочности определяем по формуле (23.15):

Где

 

Коэффициент запаса по текучести