Исследование свободных процессов в линейных цепях

 

Цель работы: изучение связи между видом свободного процес­са в цепи и расположением собственных частот (кор­ней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных частот и добротности RLC - контура по осциллограммам.

3.1. Подготовка к работе

 

В работе предлагается исследовать свободные процессы в цепях, схемы которых представлены на рис.3.1. Цепи возбуждаются очень короткими импульсами тока i 0(t), заряжающими ем­кость С. В паузах между импульсами емкость разряжается, цепь находится в свободном режиме, так как в это время источник возбуждения отключен.

 

а б

 

в

Рис. 3.1

В линейных цепях свободный процесс описывается линейным дифференциальным уравнением и его вид определяется корнями характеристического уравнения (собственными частотами цепи pk).

При возбуждении цепи источником тока собственные частоты можно рассчитать как нули входной проводимости цепи Y(p):

а) для цепи первого порядка, представленной на рис. 3.1, а,

Y(p) = pC +1/ R = 0,

откуда,

p 1= - α = - 1/ RC; (3.1)

б) для цепи второго порядка, представленной на рис. 3.1, б,

Y(p) = pC +1/(pL + R 1) = 0,

откуда,

, α = R 1/2 L, ; (3.2)

в) для цепи третьего порядка, представленной на рис. 1.3, в,

,

откуда,

, ,

. (3.3)

Общий вид решения для напряжения любого элемента цепи

где Аk – постоянные интегрирования, n - порядок цепи.

У цепи первого порядка одна собственная частота (3.1), вещественная и отрицательная, свободный процесс имеет вид

. (3.4)

процесс экспоненциальный, причем α – постоянная затухания, а τ –постоянная времени экспоненты. Временная диаграмма сво­бодного процесса показана на рис. 3.2, а, причем τ – интервал времени, соответствующий любой касательной к экспоненте.

В цепи второго порядка две собственные частоты (3.2) могут быть вещественными (апериодический режим; временная диаграмма суммы двух экспонент, изображенных пунктиром, показана на рис. 3.2, 6) или комплексными сопряженными. Комплексным сопряженным частотам соответствует качественно новый характер свободного процесса – колебательный:

, (3.5)

где α – постоянная затухания, ω – частота затухающих колебаний (), β – начальная фаза. Временная диаграмма колебательного процесса представлена на рис. 3.2, в.

В цепи второго порядка возможен также критический режим (p 1= = p 2= – α, кратные собственные частоты); вид процесса

близок к диаграмме, показанной на рис. 3.2, б, причем момент достижения максимума tm = – 1/α, если . Согласно (3.3), в схеме, изображенной на рис. 3.1, в собственные частоты могут быть либо все три вещественные, либо одна вещественная и две комплексных сопряженные, например и . Временная диаграмма свободного процесса представлена на рис. 3.2, г.

а б

в г

Рис. 3.2

В некоторых случаях собственные частоты относительно просто рассчитываются по осциллограммам. Например, согласно (3.4) по рис. 3.2, а можно рассчитать постоянную затухания

(3.6)

Для случая рис. 3.2, в постоянная затухания α также мо­жет быть определена на основании (3.6), но при этом обязательно выполнение условия Δ t = T = 2π/ω, что вытекает из (3.5).

В случаях рис. 3.2, 6 и 3.2, г найти собственные частоты мож­но лишь приближенно, выделив, как показано пунктиром, отдель­ные составляющие процесса.

Особый интерес представляет определение добротности Q RLC – контура по виду свободного процесса. Для последова­тельного RLC – контура

,

где – частота незатухающих колебаний в иде­альном контуре (R 1= 0). Согласно (3.2) собственные частоты последовательного RLC – контура можно записать следующим образом:

,

причем значению Q < 0,5 – соответствует апериодический режим, значению Q = 0,5 – критический режим, значению Q > 0,5 – колебательный режим, а значению Q = ∞ – незатухающий колебательный режим.

При Q > 10 с высокой степенью точности можно считать, что

.

С учетом (3.6) формула, позволяющая в этом случае определить добротность по осциллограмме 3.2, в, имеет следующий вид:

.

Для повышения точности можно брать отношение напряжений за n периодов колебаний и рассчитывать добротность по формуле

.

 

3.2. Экспериментальные исследования

 

Генератор импульсов, расположенный на лабораторной плате, подключите к генератору синусоидальных сигналов (ГС). Устано­вите напряжение на выходе ГС u = 7 – 10 В, частоту f с= 2 кГц (аналогичной будет частота импульсов, возбуждающих свободные колебания в исследуемых цепях).

 

3.2.1. Исследование свободных процессов в цепи первого порядка

 

Соберите схему, показанную на рис. 3.1, а (С = 0,02 мкФ, R = = 5 кОм). Снимите осциллограмму напряжения на конденсато­ре, зафиксировав на ней полный период повторения сигналов T c= 1/ f с= = 0,5 мс, который определяет масштаб времени при обра­ботке осциллограмм.

Вопросы: 1. Каким аналитическим выражением описывается осциллографируемый процесс? 2. Как определить по осциллограмме собственную частоту цепи?

 

3.2.2. Исследование свободного процесса в цепи второго порядка

 

Соберите схему, показанную на рис. 3.1, б (С = 0,02 мкФ, L = = 25 мГн). Снимите, фиксируя период Т с, осциллограммы напряжения на резисторе при значениях R 1= 0,5 кОм (колеба­тельный режим) и R 1= = 3 кОм (апериодический режим). Изменяя величину R 1, снимите осциллограмму критического режима (гра­ничного между колебательным и апериодическим режимами) и запи­шите величину полученного сопротивления R1кр.

Установите частоту f с= 1 кГц и снимите также осциллог­рамму напряжения на конденсаторе при R 1= 0.

Вопросы: 3. Какими аналитическими выражениями описываются графики процессов во всех четырех случаях? 4. Как определить по осциллограмме, снятой при R 1= 0,5 кОм, собственные частоты цепи? 5. Каковы теоретические значения собственных частот при R 1= 3 кОм и R 1= R 1кp? Соответствуют ли осциллограммы этим значениям? 6. Ка­кова добротность контура при R 1= 0 и R 1= 0,5 кОм?

 

3.2.3. Исследование свободных процессов в цепи третьего порядка

 

Соберите схему, показанную на рис. 3.1, в (С = 0,02 мкФ, R = 5 кОм, R 1= 1 кОм, L = 25 мГн).Установите частоту f с= 2 кГц и снимите осциллограмму напряжения на входе.

Вопросы: 7. Каким аналитическим выражением описывается полученный график свободного процесса? 8. Каково значение соб­ственных частот цепи p 1,2,3, вычисленных согласно (3.3)?

 

3.3. Требования к отчету

 

Отчет должен содержать цель работы, материалы всех пунктов исследования (схемы цепей, осциллограммы процессов, диаграммы расположения собственных частот на комплексной плоскости, необходимые расчеты, ответы на все вопросы) и заключение.

 

РАБОТА № 4