Замечательные пределы и их следствия

Предел последовательности. Теоремы о сходящихся последовательностях

Число а называется пределом последовательности (), если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n>N выполняется неравенство:

Тот факт, что число а является пределом последовательности (), записывается в виде

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся, а последовательность, не имеющая предела, – расходящейся.

Теоремы о сходящихся последовательностях:

Теорема 1. Если последовательность сходится, то она имеет только один предел.

Теорема 2. Если последовательность сходится, то она ограничена.

Теорема 3. Если последовательности и сходятся то

Если, кроме того, для любого n и , то

Из ТЕОРЕМЫ2 следует, что любая неограниченная последовательность является расходящейся.

Из ТЕОРЕМЫ3 следует, что постоянную можно выносить за знак предела, т.е. если последовательность () сходится, то

Предел функции

Напомним, что любой интервал, содержащий точку а, называется окрестностью точки а.

Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности точки а, за исключением, быть может, самой точки а, т.е. никаких предположений о том, определена ли функция в точке а или нет, не делается.

Число b называется пределом функции f(x) при х, стремящемся к а (или в точке а), если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что при всех , удовлетворяющей неравенству , будет выполняться неравенство

Для обозначения того, что число b есть предел функции f(x) при х стремящемся к a, пишут

Для функций, имеющих предел в точке, справедлива теорема, аналогичная теореме о сходящихся последовательностях.

Теорема. Пусть при х, стремящемся к а, существуют пределы функций f(x) и g(x). Тогда при х, стремящемся к а, существуют также пределы суммы, разности и произведения этих функций, при этом

Если, кроме того, для любого n и , то

Замечательные пределы и их следствия

Первый замечательный предел:

Следствия первого замечательного предела:

Второй замечательный предел:

Следствия второго замечательного предела:

Определенность и неопределенность в пределах функций

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей: ноль делить на ноль , бесконечность делить на бесконечность , ноль умножить на бесконечность , бесконечность минус бесконечность , единица в степени бесконечность , ноль в степени ноль , бесконечность в степени ноль .

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Неопределенность вида

Пример 1

Вычислить предел

Подставив напрямую значение , убеждаемся, что данная функция имеет неопределенность в точке . Разложив числитель на множители получаем

Пример 2

Вычислить предел

Функция имеет неопределенность в точке . Разложим числитель и знаменатель на множители