Способы задания функции.

Задание к уроку

1. По информационной карте к уроку изучить материал и письменно ответить на вопросы:

1) Какая функция называется сложной?

2) Что такое композиция функций?

3) Как найти область определения сложной функции?

Выполнить упражнения.

Урок

Тема: Сложная функция

Конспект лекции

1. Вспомнить:

Определение функции: Если каждому числу х из множества чисел D поставлено в соответствие единственное число у, то говорят, что на множестве D задана функция f и пишут y= f(x), где х - называется независимой переменной или аргументом этой функции, а множество D - область определения этой функции.

Все значения, которые принимает функция f(x) (при х D), образуют область значения (изменения) функции Е.

Способы задания функции.

Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Существует три способа задания функции: табличный, аналитический, графический.

Табличный способ задания функции состоит в том, что для каждого значения аргумента х рядом выписывается соответствующее значение у, получается таблица. Например:

С точки зрения математики здесь изучается зависимость между определенными переменными, другими словами изучается некоторая функция. При опыте ведутся записи, в простейшем случае отмечается время (аргумент функции) и записывается показание прибора (соответствующее значение функции), т.е. функция задается таблицей. А задача исследователя состоит в том, чтобы по полученной таблице изучить функцию.

Способ задания функции с помощью формулы у=f(х), где f(x) некоторое выражение с переменной х - называется аналитическим способом.

Пример 1. Функция у=f(х) задана аналитической формулой:

Найти f(-х).
Чтобы найти f(-х), надо в f(х) всюду вместо х подставить (-х). Получим:

. Аналогично находим и для f(|х|).

Пример 2. Найти область определения функции

Выражение вида определено при тех х, для которых х-1 0, т.е. при х 1
Значит, область определения функции - луч [1,+∞).

Весьма распространённым, особенно в экспериментальных науках, является графический способ задания функции. Рассмотрим множество F точек координатной плоскости х0у, обладающее следующими свойствами: любая прямая, параллельная оси ординат, пересекает это множество не более чем в одной точке. Пусть множество абсцисс всех точек множества F представляет собой отрезок [a,b]. Возьмем произвольное число х из отрезка[a,b] и проведем через точку х прямую параллельную оси ординат. Эта прямая пересекает F в точке М.

Спроецировав точку М на ось ординат, найдем число f(x), соответствующее числу х. Тем самым на отрезке задана функция у=f(x).

Определение: Графиком функции y=f(x) называется множество точек F(x,y) плоскости Oxy, координаты которых удовлетворяют функциональной зависимости y=f(x).
Удобнее всего изучать функцию, заданную и аналитически и графически (по заданной формуле строится график). На практике для построения графика функции составляют таблицу значений функций при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость соответствующие точки и соединяют их плавной линией.

2. Понятие о сложной функции Пусть даны две функции z = f(y) и у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций f и g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу h(x) = f(g(x)) (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у).

Пример. Функцию

можно рассматривать как композицию функций

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись означает, что функция h получена как композиция функций f и g (сначала применяется g, а затем f), т. е. . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным свойством: . Чтобы можно было вычислить сложную функцию h = f(g(x)), надо, чтобы число g(x), т. е. значение функции g, попадало в область определения функции f.

Пример.

Вычисляя значения функции

, необходимо брать только те числа х, для которых

, т. е. те, для которых число

попадает в область определения функции

Определение: Если функция u=φ(x) определена на области D, G - область ее значений, функция y=f(u) определена на области G, то функция y=f(φ(x))=T(x) называется сложной функцией, составленной из функции f и φ, или функцией f от функции φ. Функцию y=f(φ(x)) называют композицией двух функций y=f(u) и u=φ(x).

Сложная функция может быть композицией большего числа функций: трех, четырех и т.д. Например, функция y=cos(x²+1) - композиция двух функций y=cosu и u=x²+1; функция y=lg(sin2^x) - композиция трех функций.

Пример 1. Построим график функции .

Укажем область определения: D(y) = (-∞; -2] U (2; +∞). Заметим, что это четная функция.

Внутренняя функция: g(x) = x² – 4, построим график в системе координат (х,t). Для простоты изложения мы строим всю параболу, но в дальнейшем рассматриваем только те х, которые входят в множество D(y).

Внешняя функция: f(t) = , построим график в системе координат (t,y).

График исходной сложной функции будем строить в системе координат (х,у).

Еще один вариант применения указанного способа построения графика – это подготовительный этап в изучении свойств растяжения и сжатия графиков.

Пример 2. Итак, рассматриваем функцию у=sin2x.

Замечаем, что она всюду определена, нечетная, периодична с наименьшим положительным периодом π.

Изображаем графики внутренней и внешней функции.

Итак, мы рассмотрели понятие сложной функции как композицию двух функций, внешней и внутренней. Научились выделять эти функции в конкретно заданной сложной функции. С помощью графиков внешней и внутренней функции строим график сложной функции. Находим область определения сложной функции.

Область определения сложной функции находим как пересечение областей определения всех входящих в неё функций.

Пример 3.

Найти область определения функции: