Обработка результатов косвенных измерений

Косвенные измерения

Косвенными измерениями называют такие измерения, при которых искомое значение величины находят расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

А = f(a₁, …, a_m). (1)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в формулу (1) оценок аргументов а_i.

Поскольку каждый из аргументов а_i измеряется с некоторой погрешностью, то задача оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Однако особенность косвенных измерений состоит в том, что вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции A.

Для оценки погрешностей важное значение имеет подразделение косвенных измерений на линейные и нелинейные косвенные измерения.

При линейных косвенных измерениях уравнение измерений имеет вид

где b_i — постоянные коэффициенты при аргументах а_i.

Любые другие функциональные зависимости относятся к нелинейным косвенным измерениям.

Результат линейного косвенного измерения вычисляют по формуле (2), подставляя в нее измеренные значения аргументов.

Погрешности измерения аргументов могут быть заданы своими границами Dа_i либо доверительными границами Dа(P)_i с доверительными вероятностями Р_i.

При малом числе аргументов (меньше пяти) простая оценка погрешности результата DA получается суммированием предельных погрешностей (без учета знака), т.е. подстановкой границ D а₁, D а₂,..., D а_m в выражение

Dа₁ + Dа₂ +... + Dа_m. (3)

Однако эта оценка является излишне завышенной, поскольку такое суммирование фактически означает, что погрешности измерения всех аргументов одновременно имеют максимальное значение и совпадают по знаку. Вероятность такого совпадения исключительно мала и практически равна нулю.

Для нахождения более реалистичной оценки переходят к статистическому суммированию погрешностей аргументов.

Нелинейные косвенные измерения характеризуются тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функциональным преобразованиям. Но, как показано в теории вероятностей, любые, даже простейшие функциональные преобразования случайных величин, приводят к изменению законов их распределения.

При сложной функции (1) и, в особенности, если это функция нескольких аргументов, отыскание закона распределения погрешности результата связано со значительными математическими трудностями. Поэтому при нелинейных косвенных измерениях не используют интервальные оценки погрешности результата, ограничиваясь приближенной верхней оценкой ее границ. В основе приближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений лежит линеаризация функции (1) и дальнейшая обработка результатов аналогично тому, как расчет выполняется при линейных измерениях.

В этом случае выражение для полного дифференциала функции А будет иметь вид:

Как следует из определения, полный дифференциал функции – это приращение функции, вызванное малыми приращениями ее аргументов.

Учитывая, что погрешности измерения аргументов всегда являются малыми величинами по сравнению с номинальными значениями аргументов, можно заменить в (4) дифференциалы аргументов da_i на погрешности измерений Dа_i, а дифференциал функции dA - на погрешность результата измерения DA. Тогда получим

Проанализировав зависимость (5), можно сформулировать ряд относительно простых правил оценивания погрешности результата при косвенных измерениях.

Правило 1. Погрешности в суммах и разностях.

Если а₁ и а₂ измерены с погрешностями Dа₁ и Dа₂ и измеренные значения используются для вычисления суммы или разности А = Dа₁ ± Dа₂, то суммируются абсолютные погрешности (без учета знака):

Правило 2. Погрешности в произведениях и частных.

Если измеренные значения а₁ и а₂ используются для вычисления А = а₁× а₂ или А = а₁ / а₂, то суммируются относительные погрешности

dА = dа₁ + dа₂, (6)

где dа =Dа/а.

Правило 3. Измеренная величина умножается на (постоянное) число.

Если а используется для вычисления произведения А = В× а, в котором В не имеет погрешности, то

dА = | В |dа. (7)

Правило 4. Возведение встепень.

Если а используется для вычисления степени

то

Пример 4. Производится косвенное измерение электрической мощности, рассеиваемой на резисторе сопротивлением R при протекании по нему тока I. Так как Р = 1²R, то, применяя правила 2 и 4, получим

d P = dR + 2 dI. (10)

Правило 5. Погрешность в произвольной функции одной пере­менной.

Если а используется для вычисления функции, то