Постоянное число можно (и нужно) вынести за знак производной
, где 
– постоянное число (константа)
Пример 1 Найти производную функции 
Смотрим в таблицу производных. Производная косинуса там есть, но у нас 
.
Решаем: 
используем правило, выносим постоянный множитель за знак производной: 
. А теперь превращаем наш косинус по таблице:
Результат: 
Производная суммы равна сумме производных
Пример 2 Найти производную функции 
Решаем. Как Вы, наверное, уже заметили, первое действие, которое всегда выполняется при нахождении производной, состоит в том, что мы заключаем в скобки всё выражение и ставим штрих справа вверху:
Применяем второе правило:
Обратите внимание, что для дифференцирования все корни, степени нужно представить в виде 
, а если они находятся в знаменателе, то переместить их вверх. Теперь вспоминаем о первом правиле дифференцирования – постоянные множители (числа) выносим за знак производной:
Все функции, находящиеся под штрихами, являются элементарными табличными функциями, с помощью таблицы осуществляем превращение:
Все степени вида желательно снова представить в виде корней, степени с отрицательными показателями – сбросить в знаменатель. Хотя этого можно и не делать, ошибкой не будет.
Пример 3 Найти производную функции 
Ответ: 
3) Производная произведения функций 
Пример 4 Найти производную функции 
Пример 5 Найти производную функции 
СНАЧАЛА мы используем правило дифференцирования произведения:
Теперь для скобки 
используем два первых правила:
В результате применения правил дифференцирования под штрихами у нас остались только элементарные функции, по таблице производных превращаем их в другие функции:
4) Производная частного функций 
Пример 6 Найти производную функции 
Для начала рисуем скобочки и справа вверху ставим штрих: 
Как бы его упростить? В данном случае замечаем множитель, который согласно первому правилу целесообразно вынести за знак производной:
Смотрим на выражение в скобках. Сначала применяем правило дифференцирования частного:
Таким образом, наша страшная производная свелась к производным двух простых выражений. Применяем первое и второе правило: 
Пример 7 Найти производную функции 
Перед тем как использовать правило дифференцирования частного всегда имеет смысл посмотреть, а нельзя ли упростить саму дробь, или вообще избавиться от нее?
В данном случае можно почленно поделить числитель на знаменатель.
Преобразуем функцию:
теперь дифференцировать просто:
Пример 8 Найти производную функции 
Здесь ситуация похожа, превратим нашу дробь в произведение, для этого поднимем экспоненту в числитель, сменив у показателя знак: 
Произведение все-таки дифференцировать проще:
Производная сложной функции.
П равило дифференцирования сложной функции: 
Разбираемся. Прежде всего, обратим внимание на запись 
. Здесь у нас две функции – 
и 
, причем функция вложена в функцию . Функция такого вида (когда одна функция вложена в другую) и называется сложной функцией.
Функцию будем называть внешней функцией, а функцию – внутренней функцией.
Пример 9 Найти производную функции 
Под синусом у нас находится не просто буква «икс», а целое выражение 
, поэтому найти производную сразу по таблице не получится. Понятно, что функция – это сложная функция, причем многочлен является внутренней функцией (вложением), а 
– внешней функцией.
Применим правило дифференцирования сложной функции .
Сначала находим производную внешней функции 
(синуса), смотрим на таблицу производных элементарных функций и замечаем, что 
. В данном примере ВМЕСТО «икс» у нас : 
Обратите внимание, что внутренняя функция 
не изменилась, её мы не трогаем.
Ну и совершенно очевидно, что 
Результат применения формулы в чистовом оформлении выглядит так:
Далее мы берем производную внутренней функции, она очень простая:
Постоянный множитель обычно выносят в начало выражения:
Пример 10 Найти производную функции 
Как всегда записываем: 
Разбираемся, где у нас внешняя функция, а где внутренняя. Согласно формуле , сначала нужно найти производную от внешней функции, в данном случае, от степени. Разыскиваем в таблице нужную формулу: 
. Результат применения правила дифференцирования сложной функции следующий: 
Теперь осталось найти совсем простую производную от внутренней функции:
Пример 11
а) Найти производную функции 
б) Найти производную функции 
Пример 12 Найти производную функции 
