При построении графика функции 
удобно следовать следующей схеме.
1) Область определения функции.
2) Четность (нечетность), периодичность функции.
3) Точки пересечения графика с осями координат и промежутки, на которых 
и 
.
4) Стационарные и критические точки, промежутки возрастания и убывания функции, экстремумы.
5) Возможные точки перегиба, промежутки выпуклости вверх (вниз) функции.
6) Асимптоты графика.
7) График функции.
Примеры
6.1. Исследовать функцию: 
и построить её график.
n 1) Область определения функции: 
. Точек разрыва нет.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. 
, 
, 
при 
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью 
: 
точки 
и 
.
С осью 
: точка .
На всей области определения функция 
.
4) Найдём стационарные точки. Так как
,
то, решая уравнение: 
, получаем 
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
| 
| 
|
| 
| убывает |
| min
| |
| 
| возрастает |
| max
| |
|
| убывает |
| min
| |
|
| возрастает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то решением уравнения 
будет 
.
Составим таблицу знаков второй производной
|
| 
|
|
|
| выпукла вниз |
| точка перегиба
| |
|
| выпукла вверх |
| точка перегиба
| |
|
| выпукла вниз |
6) Так как у исследуемой функции нет точек разрыва и
,
то асимптот у графика нет.
7) Используя данные, полученные в п.п. 1-6, построим график функции.
ƒ
6.2. Исследовать функцию: 
и построить её график.
n 1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
|
|
С осью : 
точки и 
.
С осью : точка .
Функция при 
и при 
.
4) Найдём стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение 
, получаем стационарную точку 
. Кроме того, имеются две критических точки 
и 
в которых производная бесконечна.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
| убывает |
|
| 
| экстремума нет
|
|
| возрастает |
| min
| |
|
| возрастает |
| 
| экстремума нет
|
|
| возрастает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то возможными точками перегиба будут точки и .
Составим таблицу знаков второй производной
|
|
|
|
|
|
| выпукла вверх |
|
|
| точка перегиба
|
|
| выпукла вниз |
|
|
| точка перегиба
|
|
|
| выпукла вверх |
6) Найдём асимптоты. Так как точек разрыва нет, и
,
то асимптот у графика функции нет.
7) Построим график функции
6.3. Исследовать функцию и построить её график.
n 1) Область определения функции: 
.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : 
точек пересечения нет.
С осью : точка 
.
Функция при 
и при 
.
4) Найдем стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение , получаем стационарную точку 
. Кроме того, имеются две критических точки 
и в которых производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
| возрастает |
| не существует | разрыв 2 рода |
|
| возрастает |
| точка максимума
| |
|
| убывает |
|
| не существует | разрыв 2 рода |
|
|
| убывает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то точек перегиба нет, а промежутками постоянного направления выпуклости будут интервалы , 
, .
|
|
Составим таблицу знаков второй производной.
|
|
|
|
|
|
| выпукла вниз |
|
| 
| разрыв 2 рода |
|
|
| выпукла вверх |
|
|
| разрыв 2 рода |
|
|
| выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальные: , , так как в этих точках функция имеет разрыв 2 рода.
Найдём наклонную асимптоту. Угловой коэффициент прямой 
и число 
найдём, применяя формулы:
,
получаем горизонтальную асимптоту 
, наклонных асимптот нет.
7) Построим график функции.
ƒ
6.4. Исследовать функцию и построить её график.
n 1) Область определения функции: 
.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : 
.
С осью : точек пересечения нет.
Функция при 
и при 
.
4) Найдем стационарные и критические точки. Вычисляя первую производную
,
находим критические точки и 
, в которых производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
| убывает |
|
|
| разрыв 2 рода |
| не определена | не определена |
|
|
| разрыв 2 рода |
|
|
| убывает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
а точка 
не принадлежит области определения, то будем два интервала постоянной выпуклости - и . При 
, поэтому функция выпукла вверх, 
, поэтому функция выпукла вниз.
6) Найдём асимптоты.
Вертикальные: 
, так как функция терпит разрыв в этих точках.
Найдём наклонную (горизонтальную) асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
; 
.
Таким образом, 
- горизонтальная асимптота.
|
|
7) Построим график функции.
ƒ
6.5. Исследовать функцию и построить её график.
n 1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : 
точка 
.
С осью : точка 
.
Функция при 
и при 
.
4) Найдём стационарные точки. Так как
,
то в точках и 
, производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
| убывает |
|
| точка минимума
| |
|
| возрастает |
| точка максимума
| |
|
| убывает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то в точках и , вторая производная 
не существует, а в точке 
она равна нулю.
Составим таблицу знаков второй производной.
|
|
|
|
|
|
| выпукла вверх |
|
| не существует | |
|
| выпукла вниз |
| ||
|
| выпукла вверх |
|
| не существует | |
|
|
| выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальных асимптот нет, так как функция определена на всей числовой оси.
Найдём наклонную асимптоту.
Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
.
Таким образом, прямая - горизонтальная асимптота.
7) Построим график функции.
6.6. Исследовать функцию и построить её график.
n 1) Область определения функции: . Точек разрыва нет.
2) Функция не четная, не нечетная , , периодическая период 
.
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью точек пересечения нет.
С осью : точка 
.
Функция при 
.
4) Найдём стационарные точки. Так как
,
то стационарными будут точки 
, 
Составим таблицу знаков производной и поведения функции на интервале 
.
|
|
|
|
|
| убывает |
| точка минимума
| |
|
| возрастает |
| точка максимума
| |
|
| убывает |
Таким образом, точки 
- точки минимума, а 
- точки максимума. На интервалах 
функция убывает, а на интервалах 
функция убывает (
).
5) Найдём возможные точки перегиба.
.
Тогда корнями уравнения будут точки 
, 
, .
Составим таблицу знаков второй производной на интервале 
.
|
|
|
|
|
| выпукла вверх |
| точка перегиба
| |
|
| выпукла вниз |
Таким образом, точки , - точки перегиба,
6) Асимптоты отсутствуют.
7) Построим график функции
ƒ
6.6. Исследовать функцию и построить её график
.
n 1) Область определения функции: 
. Точка - точка разрыва 2 рода.
2) Функция общего вида (т.е. ни нечетная, ни четная, непериодическая), т.к. , , при .
3) Найдём точки пересечения графика функции с осями координат.
С осью : 
точки пересечения 
, 
.
С осью : точка 
. Функция при 
и при 
.
4) Найдем стационарные точки. Так как
,
то решая уравнение , получаем стационарные точки и . Кроме того, имеется еще одна критическая точка 
в которой производная не существует.
Составим таблицу знаков производной и поведения функции.
|
|
|
|
|
|
| возрастает |
|
| точка максимума
| |
|
| убывает |
|
| точка разрыва 2 рода |
|
| убывает |
|
| точка минимума | |
|
| возрастает |
5) Найдем возможные точки перегиба. Так как
,
то точек перегиба нет, а промежутками постоянного направления выпуклости будут интервалы 
, 
.
Составим таблицу знаков второй производной.
|
|
|
|
|
|
| выпукла вверх |
|
|
| разрыв 2 рода |
|
| выпукла вниз |
6) Найдём асимптоты.
Вертикальная: , так как в этой точке функция имеет разрыв 2 рода.
Найдём наклонную асимптоту. Угловой коэффициент прямой и число найдём, применяя формулы:
, 
получаем наклонную асимптоту 
, горизонтальных асимптот нет.
7) Построим график функции.
ƒ