Способ (с помощью второй производной)

Найдём вторую производную:

;

Найдём значение второй производной в критических точках.

Значит, прибыль в точке максимальная.

Найдём значение максимальной прибыли:

.ƒ

3.9. Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 15 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

n Пусть , тогда:

Объём:

;

Найдём критические точки функции:

;

Получили, чтобы объём воронки с образующей 15 см был наибольшим, высота её должна быть равной см. ƒ

Выпуклость функции и точки перегиба.

Достаточные условия выпуклости.

Пусть существует на отрезке , а — на интервале . Тогда:

1) если

при всех ,

то функция выпукла вниз на отрезке .

2) если

при всех ,

то функция выпукла вверх на отрезке .

Необходимое условие наличия точки перегиба.

Если — точка перегиба функции и если функция имеет в некоторой окрестности точки вторую производную, непрерывную в точке , то

Достаточные условия наличия точки перегиба.

1) Если функция непрерывна в точке , имеет в этой точке конечную или бесконечную производную и если функция меняет знак при переходе через точку , то — точка перегиба функции .

2) Если , , то — точка перегиба функции .

Примеры

4.1. Показать, что функции выпукла вверх на всей области определения.

n Вычислим вторую производную

Область определения функции

множество . Очевидно, для любых .ƒ

4.2. Найти точки перегиба линии , .

n Вычислим вторую производную параметрически заданной функции оп формуле

Так как , , , , получаем

Разобьем ось точками , , на три интервала. На каждом из этих интервалов вторая производная сохраняет знак. Составим таблицу значений , и знака на соответствующих интервалах.




	От до

Таким образом, точками перегиба будут и .ƒ

4.3. Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции

n Вычисляя производные

, .

Составим таблицу постоянства знаков второй производной.


		Выпукла вниз
		Точка перегиба
		Выпукла вверх

Таким образом, точка - точка перегиба.ƒ

4.4. Найти точки перегиба линии , .

n Вычислим вторую производную, параметрически заданной функции по формуле

Так как , , , , получаем

Точки, в которых определяются из уравнения , и нетрудно убедиться, что в , , вторая производная меняет знак, следовательно, эти точки – точки перегиба.ƒ

4.5. Показать, что точки перегиба линии лежат на линии .

n Точки пересечения линий удовлетворяют уравнению

. (*)

Покажем, что точки перегиба линии удовлетворяют этому уравнению. Вычисляя вторую производную и приравнивая ее нулю получаем уравнение

или , (**)

так как . Подставляя (**) в (*) получаем тождество

.ƒ

Асимптоты.

Вертикальная асимптота.

Если выполнено хотя бы одно из условий

, ,

то прямую называют вертикальной асимптотой графика функции .

Невертикальная асимптота.

Прямую

называют невертикальной асимптотой графика функции при , если

Если , то асимптоту называют наклонной, а если , то асимптоту называют горизонтальной.

Аналогично вводится понятие асимптоты при .

Для того чтобы прямая была асимптотой графика функции при , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

Аналогично находится асимптота при .

Исследование асимптот при и при как правило проводят отдельно.

В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при и при , например, для

1) рациональных функций;

2) четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.

Следует отметить, что метод вычисления пределов для нахождения асимптот не позволяет оценить взаимное расположение графика функции и его асимптоты. Для определения взаимного положения графика и асимптоты можно пользоваться следующими правилами.

1) Если функция имеет асимптоту при , дифференцируема и строго выпукла вниз на луче , то график функции лежит выше асимптоты.

2) Если функция имеет асимптоту при , дифференцируема и строго выпукла вверх на луче , то график функции лежит ниже асимптоты.

3) Могут быть другие случаи поведения графика функции при стремлении к асимптоте. Например, возможно, что, график функции бесконечное число раз пересекает асимптоту.

Аналогичное утверждение справедливо и при .

До исследования свойств выпуклости графика функции взаимное расположения графика функции и его асимптоты можно определить по знаку в методе выделения главной части.

Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при . Аналогично при .

Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби.

Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при .

Главную часть иррациональных функций вида и удобно находить соответственно методом выделения полного квадрата или полного куба подкоренного выражения.