Наибольшее и наименьшее значения функции.

Кафедра гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

А.Б. ДЮБУА, С.Н. МАШНИНА

МатематиЧЕСКИЙ АНАЛИЗ: исследование

Функций одной переменной

Допущено учебно-методическим советом Рязанского филиала

государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Московский государственный университет экономики, статистики и информатики (мэси)» в качестве учебного пособия для студентов Рязанского филиала МЭСИ, обучающихся по специальностям:

080801 – «Прикладная информатика (по областям)»; 080111 – «Маркетинг»; 080507 – «Менеджмент организаций»; 080503 – «Антикризисное управление»; 080109 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»;080105 – «Финансы и кредит».

Протокол № 3 от 19 января. 2011 г.

Рязань 2011

УДК 517.2

ББК 22.15

Д11

Рецензент:

каф. высшей математики Рязанского государственного радиотехнического университета (зав. каф. К.В. Бухенский, к.ф.-м.н., доцент).

Дюбуа А.Б., Машнина С.Н. Математический анализ: исследование функций с помощью производных, – Рязань: Рязанский филиал МЭСИ, 2011 г. – 48 с.

Составлено в соответствии с Государственным образовательным стандартом по высшей математике для специальностей: 080801 – «Прикладная информатика (по областям)»; 080111 – «Маркетинг»; 080507 – «Менеджмент организаций»; 080503 – «Антикризисное управление»; 080109 – «Бухгалтерский учет, анализ и аудит»; 080105 – «Финансы и кредит».

Возрастание и убывание функции.

Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

при всех .

Аналогично, условие

при всех

является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой на интервале функции .

Примеры

1.1. Доказать, что функция строго возрастает на промежутке .

n Так как

то для всех функция является строго возрастающей на всей области определения.ƒ

1.2. Доказать, что если , то .

n Пусть , тогда . Эта функция дифференцируема на интервале , причем

то для всех функция строго убывает на интервале . Поэтому

для всех .

То есть выполнено

.ƒ

Экстремумы функции.

Необходимое условие экстремума.

Точки экстремума функции следует искать среди тех точек области определения, в которых производная этой функции либо равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная данной функции равна нулю, называет стационарными точками этой функции, а точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю либо не существует,— ее критическими точками.

Достаточные условие экстремума.

1) Если меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , то - точка строгого минимума функции . Если меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то - точка строгого максимума функции .

2) Пусть и существует вторая производная . Тогда, если , то - точка строгого минимума функции . Если , то - точка строгого максимума функции .

Примеры

2.1. Найти точки экстремума функции

n Функция дифференцируема на множестве всех действительных чисел, поэтому все её точки экстремума содержатся среди стационарных точек функции, являющихся корнями уравнения , т.е. уравнения

которое имеет корни , , . Для удобства составим таблицу:


		возрастает

		возрастает
		max
		убывает
		min
		возрастает

Из таблицы видно, что , - точки строгого максимума и минимума, а не является точкой экстремума. ƒ

2.2. Найти точки экстремума функции

n Прежде всего, отметим, что функция — четная, непрерывная на , дифференцируемая на , кроме точек . Эквивалентное представление функции:

Производная функции равна

критическими точками которой будут , , .

Составим таблицу


		возрастает
		max
		убывает
	не существует	min
		убывает
	не существует	max
		убывает
	не существует	min
		возрастает
		max
		убывает

Используя полученные результаты, получаем: и — точки строгого минимума функции , , и — точки строгого максимума этой функции.ƒ

Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет максимумы в точках , ,…., и минимумы в точках , ,…, и не имеет других точек экстремума. Тогда наибольшее значение функции на отрезке равно наибольшему из чисел , , ,…., , , а наименьшее этой функции на отрезке равно наименьшему из чисел , , ,…., , .

Примеры

3.1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке .

n Как следует из примера 2.1. функция на отрезке имеет строгий максимум в точке и строгий минимум в точке . Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно

а наименьшее

.ƒ

3.2. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

на отрезке .

n Как следует из примера 2.2. функция на отрезке имеет строгий максимум в точках и и строгий минимум в точке . Следовательно, наибольшее значение функции на отрезке равно

а наименьшее

.ƒ

3.3. Корабль стоит на якоре в 10 км от ближайшей точки берега, матросу необходимо добраться до лагеря расположенного в 15 км вдоль берега. В каком точке берега должен пристать матрос, чтобы попасть в лагерь в ближайшее время? Скорость матроса на веслах 4 км/час, пешком 5 км/час.

n Свяжем условие задачи с декартовой системой координат. Пусть корабль находится в точке , лагерь в точке , точка - место высадки матроса. Тогда суммарное время, необходимое матросу, для того, чтобы добраться из в будет равно .

Таким образом задача сводится к нахождению минимума функции

Находя производную, получаем

Решая уравнение , находим стационарную точку . Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно

.ƒ

3.4. Из сектора радиуса свертывается конус. При каком центральном угле он имеет наибольший объем?

n Объем конуса вычисляется по формуле , где - площадь круга - основания конуса, - его высота. Пусть - длина окружности основания конуса, очевидно, она равна длине дуги исходного сектора, т.е. и . Высота полученного конуса равна

а его объем, как функция угла

Найдем стационарные точки функции . Находя производную

и решая уравнение , получаем . Нетрудно убедиться, что при данном значении угла, объем конуса будет максимальным.ƒ

3.5. Найти положительное число, сумма которого и обратного к нему является наименьшей.

n Обозначим искомое число через . Исследуем функцию

Вычислим производную: .

Производная имеет смысл для всех , кроме . Критические точки функции: Так как число положительное, имеем лишь одну точку для решения: . Найдём значение функции для . Слева от точки производная отрицательная, справа – положительная. Значит, точка - точка минимума.

Используем второе достаточное условие экстремума. Для этого найдём вторую производную:

Найдём значение второй производной в критической точке : . Следовательно, это значение наименьшее. Поэтому: . ƒ

3.6. Во дворе детского садика надо огородить прямоугольной формы цветник, прилегающий к забору, длина которого больше 40 метров. Есть 200 плит, каждая из которых имеет длину 40 см. Каким должны быть размеры цветника, чтобы его площадь была наибольшей?

n Пусть - длина одной стороны цветника, параллельной забору, - длина смежной стороны цветника. Тогда: . По условию задачи длина изгороди: м. Следовательно,

;

Найдём критические точки функции .

;

Найдём наибольшее значение функции на отрезке .

;

Получили, что наибольшее значение функции при .

Таким образом, цветник будет иметь наибольшую площадь, если сторона, прилегающая к забору, вдвое больше другой.

Найдём вторую производную:

Так как вторая производная отрицательная, значит, - точка максимума.ƒ

3.7. Из пункта А в направлении к пункту В отправляется грузовой автомобиль со скоростью км/ч. Одновременно из пункта В со скоростью 60км/ч отправляется автобус в направлении, перпендикулярном АВ. В какой момент времени от начала движения расстояние между машинами будет наибольшим,