Исследовать параметрически заданную кривую

,

И построить ее.

n Найдем производные функции:

.

Рассмотрим промежутки монотонности функций и :

	убывает от до	возрастает от до
	возрастает от до	убывает от до
	возрастает от до	убывает от до
	убывает от до	убывает от до
	убывает от до	возрастает от до

 

Если , то , ; значит — вертикальная асимптота, можно предположить, что кривая выпукла вверх (к асимптоте).

Точка при является точкой минимума функции и точкой минимума функции .

Если , то , . Следовательно, исследуем наклонную асимптоту.

.

.

Асимптота при , причем .

В достаточно малой левой полуокрестности точки определим знак выражения:

.

Следовательно, кривая расположена выше асимптоты и, можно предположить, что выпукла вниз.

Аналогично, если , то , ,

,

.

Асимптота при , причем .

В достаточно малой правой полуокрестности точки определим знак выражения:

.

Следовательно, кривая расположена ниже асимптоты и, можно предположить, что выпукла вверх.

При функция имеет максимум, а функция убывает при . Поэтому — точка максимума функции..

Если , то , . Следовательно, — горизонтальная асимптота при . Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то , . Следовательно, — горизонтальная асимптота при . Так как кривая расположена выше асимптоты, можно предположить, что она выпукла вниз (к асимптоте).

Если , то , . Значит — вертикальная асимптота. Можно предположить, что кривая выпукла вниз (к асимптоте).

Построим график

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Построить графики функций с помощью производной первого порядка.

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

 

Задача 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.

1. , .	2.
3. ,	4. ,
5. .	6. ,
7.	8. ,
9.	10. ,
11.	12. ,
13.	14. ,
15.	16. ,
17.	18. ,
19.	20. ,
21.	22. ,
23.	24. ,
25.	26.
27.	28.
29. , .	30.

 

Задача 3. Провести полное исследование функций и построить их графики

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

 

Задача 4. Провести полное исследование функций и построить их графики

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

 

 

Задача 5. Провести полное исследование функций и построить их графики

1.	2.
3.	4.
5.	6.
7.	8.
9.	10.
11.	12.
13.	14.
15.	16.
17.	18.
19.	20.
21.	22.
23.	24.
25.	26.
27.	28.
29.	30.

 

Задача 6. Провести полное исследование функций и построить их графики

1. ,	2. ,
3. ,	4. ,
5. ,	6. ,
7. ,	8. ,
9. ,	10. ,
11. ,	12. ,
13. ,	14. ,
15. ,	16. ,
17. ,	18. ,
19. ,	20. ,
21. ,	22. ,
23. ,	24. ,
25. ,	26. ,
27. ,	28. ,
29. ,	30. ,

 

Литература

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977.

2. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу. – М.: Высшая школа, 2000.

3. Зорич В.А. Математический анализ.– М.: Наука, 1981.

4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа.– М.: Высшая школа, 1981.

5. Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1977.

6. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Возрастание и убывание функции…………………………….………………...3

2. Экстремумы функции…………………………………………….……………...4

3. Наибольшее и наименьшее значение функции…………………….…………..6

4. Выпуклость функции и точки перегиба……………………………….………13

5. Асимптоты………………………………………………………………….…...16

6. Построение графиков функции…………………………………………….......21

Задачи для самостоятельной работы…………………….………………………..39

Литература…………………………………………………………………………..46

 

Учебное издание

 

 

Александр Борисович Дюбуа